Produktregel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ mittels der Produktregel.

Damit du die Produktregel anwenden kannst, musst du $f(x)=u(x)\cdot v(x)f(x)\; =\; u(x)\; \backslash cdot\; v(x)$ schreiben.

Dazu setze

$v(x)=x\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}(x)=1v(x)\; =\; x\; \backslash Rightarrow\; v\text{'}(x)\; =\; 1$.

Das kannst du in die Formel einsetzen und erhältst

Fällt dir was auf?

Dieses Ergebnis hättest du auch mit der Ableitungsregel für Polynome erhalten können. Aber es ist doch sehr beruhigend, dass beide Wege dir das gleiche (richtige!) Ergebnis liefern, nicht wahr?

Wenn du kompliziertere Funktionen ableiten sollst, ist es daher immer wichtig, dass du dir vorher überlegst, welche Ableitungsregel sich gerade besonders gut eignet.

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2\cdot \sin (x)f(x)\; =\; x^2\; \backslash cdot\; \backslash sin(x)$ mittels der Produktregel.

Bringe dafür $f(x)f(x)$ auf die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)f(x)=\; u(x)\backslash cdot\; v(x)$.

Dazu setzt du $u(x)=x^{2}u(x)\; =x^2$ und $v(x)=\sin (x)v(x)\; =\; \backslash sin\; (x)$.

Die Ableitungen von $uu$ und $vv$ lauten

$(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x(x^2)\text{'}\; =\; 2x$ und $(\sin (x){)}^{\mathrm{\prime }}=\cos (x)\mathrm{.}(\backslash sin(x))\text{'}\; =\; \backslash cos(x).$

Jetzt kannst du alles in die Formel einsetzen und erhältst