Kettenregel

Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen $u$ und $v$ auszurechnen:

{(u (v (x)))}^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Das Multiplizieren mit $v^{'} (x)$ heißt auch Nachdifferenzieren.

Um die Ableitung der Verkettung von $u$ und $v$ zu berechnen, setzt man also $v (x)$ in die Ableitung $u^{'}$ ein und differenziert nach.

Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung":

{(u (v (x)))}^{'} = \underset{äußere Ableitung}{\underset{⏟}{u^{'} (v (x))}} \cdot \underset{innere Ableitung}{\underset{⏟}{v^{'} (x)}}

Zerlegung der Funktion in innere und äußere Funktionen

Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion $f$ mit $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ . Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss $f$ zunächst in die beiden Teilfunktionen $u$ und $v$ zerlegt werden.

Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir $u$ als " $äußere Funktion$ " und $v$ als " $innere Funktion$ " betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion $v (x) = x + 1$ . Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also $u (v) = v^{2}$ .

Setzen wir den inneren Funktionsterm von $v (x)$ in den äußeren Funktionsterm von $u$ ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: $f (x) = u (v (x))$ ,

Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion $f (x) = (x + 1)^{2}$ .

Vorsicht

Die umgekehrte Reihenfolge bei der Verkettung führt in der Regel zu einer völlig anderen Funktion.

$v (u (x)) \neq u (v (x))$

Beispiel:

$u (x) = x^{2}$ und $v (x) = x + 1$

$u (v (x)) = (x + 1)^{2}$

$v (u (x)) = x^{2} + 1$

Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.

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Video zur Kettenregel

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Beispiele zur Kettenregel

Funktion $f (x) = u (v (x))$	äußere Funktion $u (x)$	innere Funktion $v (x)$
$f (x) = (2 x - 1)^{3}$	$u (x) = x^{3}$	$v (x) = 2 x - 1$
$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$	$u (x) = \sin (x)$	$v (x) = x + \frac{π}{2}$
$f (x) = e^{x^{2} + 1}$	$u (x) = e^{x}$	$v (x) = x^{2} + 1$

Anwendung der Kettenregel am Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion $f (x) = \sin (x^{4} + 2 x^{2})$ .

Zunächst zerlegt man $f$ in $u$ und $v$ mit $f (x) = u (v (x))$ .

f (x) = \sin (x^{4} + 2 x^{2})

u (x) = \sin (x)

v (x) = x^{4} + 2 x^{2}

Dann berechnet man die Ableitungen von $u$ und $v$ …

u^{'} (x) = \cos (x)

v^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x

… und setzt $v (x)$ in $u^{'}$ ein.

u^{'} (v (x)) = \cos (x^{4} + 2 x^{2})

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von $f$ .

\begin{array}{rclll} f^{'} (x) & = & u^{'} (v (x)) & \cdot & v^{'} (x) \\ = & \cos (x^{4} + 2 x^{2}) & \cdot & (4 x^{3} + 4 x) \end{array}

Übungsaufgaben

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