Kettenregel

Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion $ff$ mit $f\left(x\right)={(x+1)}^{2}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash left(x+1\backslash right)^2$. Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss $ff$ zunächst in die beiden Teilfunktionen $uu$ und $vv$ zerlegt werden.

Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir $uu$ als "$\ddot{\text{a}}\text{ußere Funktion}\backslash textcolor\{cc0000\}\{\backslash text\{äußere\; Funktion\}\}$" und $vv$ als "$\text{innere Funktion}\backslash textcolor\{0099cc\}\{\backslash text\{innere\; Funktion\}\}$" betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion $v\left(x\right)=x+1\backslash textcolor\{0099cc\}\{v\backslash left(x\backslash right)=x+1\}$. Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also $u\left(v\right)=v^2\backslash textcolor\{cc0000\}\{u\backslash left(v\backslash right)=v^2\}$.

Setzen wir den inneren Funktionsterm von $v\left(x\right)\backslash textcolor\{0099cc\}\{v\backslash left(x\backslash right)\}$ in den äußeren Funktionsterm von $u\backslash textcolor\{cc0000\}\{u\}$ ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: $f(x)=u(v\left(x\right))f(x)=\backslash textcolor\{cc0000\}\{u(\}\backslash textcolor\{0099cc\}\{v\backslash left(x\backslash right)\}\backslash textcolor\{cc0000\}\{)\}$,

Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion  $f\left(x\right)=(x+1{)}^{2}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash textcolor\{cc0000\}\{(\}\backslash textcolor\{0099cc\}\{x+1\}\backslash textcolor\{cc0000\}\{)^2\}$.

Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.

Zunächst zerlegt man $ff$ in $uu$ und $vv$ mit $f(x)=u(v(x))f(x)\; =\; \backslash color\{cc0000\}\{u(\}\backslash color\{0099cc\}\{v(x)\}\backslash color\{cc0000\}\{)\}$.

Dann berechnet man die Ableitungen von $uu$ und $vv$ …

… und setzt $v(x)v(x)$ in $u^{\mathrm{\prime }}u\text{'}$ ein.

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von $ff$.