Aufgaben zur Kettenregel

1

Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.

$f\left(x\right)=\sqrt{x^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f\left(x\right)=\sqrt{x^3}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g(x)=\sqrt{x}$
$\\h(x)= x^3$
$\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$g'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}$
$h'\left(x\right)=3x^2$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\\\&=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}$
Am Ende könntest du noch vereinfachen.
$f'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x^4}{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$
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$f(x) = \sqrt{2x^{-3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f(x) = \sqrt{2x^{-3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g(x) = \sqrt{x}\\$
$h(x) = \frac{2}{x^3}\\$
$\Rightarrow f(x) = g(h(x))$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\$
$h'(x) = -\dfrac{6}{x^4}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin {array}{rcl}f'(x) &=& g'(h(x)) \cdot h'(x) \\\\&=& \dfrac{1}{2\sqrt{h(x)}} \cdot \dfrac{-6}{x^4}\\\\&=& \dfrac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}\\\\&=& \dfrac{-3}{\sqrt{2x^5}}\end{array}$
Hinweis: du kannst diese Aufgabe auch über die Ableitung von Potenzfunktionen lösen:
$f(x)=\sqrt{2 x^{-3}}= \sqrt{2}\cdot x^{-3/2}$
Also ist
$\displaystyle f'(x)$ $=$ $\displaystyle \sqrt{2}\cdot \frac{-3}{2}x^{-5/2}$
$=$ $\displaystyle -\frac{3}{\sqrt{2}}x^{-5/2}$
Das ist dasselbe Ergebnis wie oben nur etwas anders geschrieben.
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$f(x) = e^{x^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f \left( x \right) = e^{x^3}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g \left( x \right) = e^x\\$ $\\h \left( x \right) = x^3\\$ $\\\Rightarrow f \left( x \right) = g \left( h \left( x \right) \right)$
Bestimme die einzelnen Ableitungen.
$g'\left( x\right) = e^x\\$ $\\h' \left( x \right) = 3 x^2$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&e^{x^3} \cdot 3x^2\end{array}$
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$f(x)=\ln(x^2+4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f(x)=ln\left(x^2+4\right)$
Finde die einzelnen Funktionen.
Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
$g'\left(x\right) = \frac{1}{x}\\$ $\\h'\left(x\right) = 2x$
Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{h\left(x\right)}\cdot2x\\\\&=&\frac{2x}{x^2+4}\end{array}$
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2

Sei $f(x)$ eine differenzierbare Funktion, sodass $f(x)>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Berechne die Ableitung von $\ln(f(x))$ mit der Kettenregel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v(x)$ und $u(x)$ . Hier ist $v(x)=f(x)$ und $u(x)=\ln(x)$ . Wir wissen, dass $v'(x)=f'(x)$ und $u'(x)=1/x$ . Einsetzen ergibt
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Sei $a$ eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von $f(x)=a^x$ zu berechnen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus-Regeln
Wir verwenden die Formel aus a)
und formen nach $f'(x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f(x)$ und erhalten
Nun setzen wir $f(x)=a^x$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln(a^x)=x \cdot \ln(a)$ schreiben können. Damit folgt $\Big(\ln(a^x)\Big)'=\ln(a)$ . Das ergibt
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Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von $x^x$ berechnen willst?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f(x)$ die Formel
Jetzt setzen wir $f(x)=x^x$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln(f(x))=x \cdot \ln(x)$ . Also ist
Somit folgt
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3

Bestimme die Ableitung der Funktion $f$ :

$f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$g\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\h\left(x\right)=x^2$
$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
Berechne die einzelnen Ableitungen.
$g'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\\h'\left(x\right)=2x$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\&=&-\sin\left(x^2\right)\cdot 2x\\&=&-2x\sin\left(x^2\right)\end{array}$
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$f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^{2^{ }}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$g\left(x\right)=x^2\\h\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\$
$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
Berechne die einzelnen Ableitungen.
$g'\left(x\right)={\textstyle2}\cdot{\textstyle x}\\h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
$f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)$
Setze zunächst $g'$ und $h'$ ein.
$=2\cdot(h{\left(x\right)})\cdot\cos\left(x\right)$
Nun setze $h(x)=\sin(x)$ ein.
$=2\cdot\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$
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$f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
$g\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\h\left(x\right)=\frac1x\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
Berechne die einzelnen Ableitungen
$g'\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\h'\left(x\right)=-\frac1{x^2}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\&=&\cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)\\&=&-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\end{array}$
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$f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))^{ }$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))$
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit
$g(x)=\sin(x)\\h(x)=\cos(\sin(x))\\$
gerade $f$ ergibt.
$\Rightarrow f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)))=\sin(\cos(\sin(x)))$
Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h'$ zu bestimmen.
Nach der Kettenregel gilt dann
$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ .
$g'(h(x))$ kannst du direkt bestimmen:
Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.
$g'(x)=\cos(x)$
$\Rightarrow g'(h(x)) = \cos(\cos(\sin(x)))$
Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$ .
$u(x)=\cos(x)\\v(x)=\sin(x)\\$
$\Rightarrow h(x)= u \circ v = u(v(x))=\cos(\sin(x))\\$
Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$ , um die Kettenregel
$h'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$
zu verwenden.
$u'(x)=-\sin(x)\\v'(x)=\cos(x)$
Berechne $h'$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}h'(x)&=&u'(v(x))\cdot v'(x)\\&=&-\sin(\sin(x))\cdot\cos(x)\end{array}$
Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=&\cos(h(x))\cdot h'(x)\\&=&\cos(\cos(\sin(x))) \cdot (-\sin(\sin(x)))\cdot \cos(x)\\&=&-\cos(x)\cdot \sin(\sin(x)) \cdot \cos(\cos(\sin(x)))\end{array}$
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4

Finde die zugehörige Funktion zu den gegeben Ableitungen (durch Hinsehen). Beim Ableiten wurde die Kettenregel verwendet!

$f'\left(x\right) = \cos\left(x^2+1\right) \cdot 2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Formuliere zunächst die Kettenregel:

$\left(g(h(x)) \right)' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: $f(x) = g(h(x))$ .

Die Ableitung hat dann die Form $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen $g'(x)$ , $h(x)$ und $h'(x)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}f'(x) & = & \cos\left(x^2+1\right)&\cdot & 2x \\& = & g'(h(x)) &\cdot &h'(x)\end{array}$

Stelle eine Vermutung auf, was die gesuchten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!

Vermutung

Stelle zunächst eine Vermutung auf für $h'(x) = \ldots ?$ und $g'(h(x)) = \ldots ?$

$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$
$\displaystyle g´\left(h\left(x\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x^2+1\right)$
	↓	Bestimme $g'(x)$ und $h(x)$
$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x\right)$
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+1$

Überprüfe nun, ob die Ableitung $h'$ und Funktion $h$ überhaupt zusammenpassen. Leite dafür $h$ ab.

$h(x) = x^2+1$

Bestimme die Ableitung

$h'(x) = (x^2+1)'=2x$

Die Vermutung $h'(x)=2x$ passt also zu $h(x) = x^2 + 1$ .

Funktion f bestimmen

Gesucht: $f(x)=g(h(x))$

Bekannt: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}h(x) &=& x^2+1\\g'(x)&=&\cos\left(x\right)\end{array}$

Die Teilfunktion $h(x)$ kennst du bereits, also musst du nur noch $g(x)$ bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung $g'(x) = \cos(x)$ hat.

$\Rightarrow g(x)=\sin(x)$

Setze nun in die Formel ein

$f(x) =g(h(x)) =\sin(x^2+1)$

Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.

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5

Bestimme die Ableitung von $f$ :

$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Finde die einzelnen Funktionen
$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)$
Finde die einzelnen Ableitungen
$g\left(x\right)=\ln\left(x\right)\\h\left(x\right)=\sqrt x\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
$g'\left(x\right)=\frac{1}{x}\\h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt x}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\&=&\frac{1}{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\\&=&\frac{1}{2x}\end{array}$
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$f\left(x\right)=e^{x^2+2\sqrt x}$

$f(x)=e^{\sin(x^2)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
$f(x)=e^{\sin(x^2)}$
Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.
$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$ .
$g(x)=e^x\\h(x)=\sin(x^2)\\\Rightarrow f(x)=g(h(x))$
Leite $u$ und $v$ ab.
$g'(x)=e^x$
$u(x)=\sin(x)\\v(x)=x^2\\\Rightarrow h(x)=u(v(x))$
Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.
$u'(x)=\cos(x)\\v'(x)=2x$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=& e^{h(x)} \cdot h'(x)\\&=& e^{\sin(x^2)}\cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)\\&=& e^{\sin(x^2)}\cdot \cos(x^2) \cdot 2x\end{array}$
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$f(t) = e^{t^3+\sin(t)}$

$\displaystyle f\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle e^{t^3+\sin\left(t\right)}$
	↓	Zerlege $f(t)$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$\displaystyle g\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle e^t$
$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle t^3+\sin\left(t\right)$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab.
$\displaystyle g´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle e^t$
$\displaystyle h´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle t^3+\sin\left(t\right)$
	↓	Kettenregel aufstellen
$\displaystyle f´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle g´\left(h\left(t\right)\right)\cdot h´\left(t\right)$
	↓	Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.
$\displaystyle f´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle e^{t^3+\sin\left(t\right)}\cdot\left(3t^2+\cos\left(t\right)\right)$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}\cdot \frac{-3}{2}x^{-5/2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{\sqrt{2}}x^{-5/2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{x^2+2\sqrt{x}}$
	↓	Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^x$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2\sqrt{x}$
$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^x$
$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+\frac{1}{\sqrt{x}}$
	↓	Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g´\left(h\left(x\right)\right)\cdot h´\left(x\right)$
	$=$	$\displaystyle e^{x^2+2\sqrt{x}}\cdot\left(2x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

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Ableitung mit der Kettenregel

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Ableitung mit der Kettenregel

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Vermutung

Funktion f bestimmen

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