$f\left(x\right)=\sqrt{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$g(x)=\sqrt{x}$

$\\h(x)= x^3$

$\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$g'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}$

$h'\left(x\right)=3x^2$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\\\&=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}$

Am Ende könntest du noch vereinfachen.

$f(x) = \sqrt{2x^{-3}}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$g(x) = \sqrt{x}\\$

$h(x) = \frac{2}{x^3}\\$

$\Rightarrow f(x) = g(h(x))$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\$

$h'(x) = -\dfrac{6}{x^4}$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin {array}{rcl}f'(x) &=& g'(h(x)) \cdot h'(x) \\\\&=& \dfrac{1}{2\sqrt{h(x)}} \cdot \dfrac{-6}{x^4}\\\\&=& \dfrac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}\\\\&=& \dfrac{-3}{\sqrt{2x^5}}\end{array}$

$f \left( x \right) = e^{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$g \left( x \right) = e^x\\$$\\h \left( x \right) = x^3\\$$\\\Rightarrow f \left( x \right) = g \left( h \left( x \right) \right)$

Bestimme die einzelnen Ableitungen.

$g'\left( x\right) = e^x\\$$\\h' \left( x \right) = 3 x^2$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&e^{x^3} \cdot 3x^2\end{array}$

$f(x)=ln\left(x^2+4\right)$

Finde die einzelnen Funktionen.

Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.

$g'\left(x\right) = \frac{1}{x}\\$$\\h'\left(x\right) = 2x$

Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{h\left(x\right)}\cdot2x\\\\&=&\frac{2x}{x^2+4}\end{array}$