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Ableiten von Potenzfunktionen

Im Artikel wird die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachtet:

f(x)=xn,n∈ℕ

Diese Funktion kannst du ableiten, indem du f(x) mit n multiplizierst und anschließend den Exponenten n um eins verringerst.

fâ€Č(x)=n⋅xn−1

Beispiel

Funktion

Ableitung

f(x)=x3

fâ€Č(x)=3⋅x3−1=3⋅x2

f(x)=3⋅x5

f(x)=3⋅5⋅x5−1=15⋅x4

f(x)=12⋅x =12⋅x1

fâ€Č(x)=12⋅1⋅x1−1=12⋅x0=12

Exkurs: rationale Exponenten

Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nĂŒtzlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:

f(x)=x35

Bestimme die Ableitung mit der Formel fâ€Č(x)=n⋅xn−1 fĂŒr n=35.

↓
fâ€Č(x)=35⋅x35−1
↓

Schreibe 1 also unechten Bruch 55.

=35⋅x35−55
↓

Ziehe die BrĂŒche im Exponenten voneinander ab.

=35⋅x−25
↓

Wende die Regel x−1=1x an.

=35⋅1x25
↓

Schreibe die BrĂŒche als einen Bruch.

=35⋅x25
↓

x25=x2⋅15=(x2)15. Da z15=z5 ist, kannst du weiter umformen.

=35⋅x25

Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:

f(x)=x43=x43

⇒fâ€Č(x)=43x13=43x3=4x33

Allgemein:

f(x)=xab=xab

fâ€Č(x)=ab⋅xab−1=ab⋅xab−bb=ab⋅xa−bb

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