Ableiten von Potenzfunktionen

Im Artikel wird die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachtet:

\displaystyle f\left(x\right)=x^n ,\; n\in\mathbb{N}

Diese Funktion kannst du ableiten, indem du $f(x)$ mit $n$ multiplizierst und anschließend den Exponenten $n$ um eins verringerst.

$f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$

Beispiel

Funktion	Ableitung
$f\left(x\right)=x^3$	$f'\left(x\right)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
$f\left(x\right)=3\cdot x^5$	$f\left(x\right)=3\cdot5\cdot x^{5-1}=15\cdot x^4$
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x\ =\frac{1}{2}\cdot x^1$	$f'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot x^{1-1}=\frac{1}{2}\cdot x^0=\frac{1}{2}$

Exkurs: rationale Exponenten

Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nützlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:

$f(x)=x^{\frac{3}{5}}$

Bestimme die Ableitung mit der Formel $f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ für $n=\frac{3}{5}$ .
	↓
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-1}$
	↓	Schreibe $1$ also unechten Bruch $\frac{5}{5}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-\frac{5}{5}}$
	↓	Ziehe die Brüche im Exponenten voneinander ab.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}}$
	↓	Wende die Regel $x^{-1}=\frac{1}{x}$ an.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$
	↓	Schreibe die Brüche als einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5\cdot x^{\frac{2}{5}}}$
	↓	$x^{\frac{2}{5}}=x^{2\cdot \frac 15}=\left(x^2\right)^{\frac{1}{5}}$ . Da $z^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{z}$ ist, kannst du weiter umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5\cdot \sqrt[5]{x^2}}$

Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:

$f(x)=\sqrt[3]{x^4}=x^\frac 4 3$

$\Rightarrow f'(x)=\frac43 x^\frac13=\frac43\sqrt[3]x=\frac{4\sqrt[3]x}3$

Allgemein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&\sqrt[b]{x^a}\\&=&x^{\frac ab}\end{array}$

$f'(x)=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-1}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-\frac{b}{b}}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a-b}{b}}$

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