Ableiten von Potenzfunktionen

Im Artikel wird die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachtet:

f (x) = x^{n}, n \in ℕ

Diese Funktion kannst du ableiten, indem du $f (x)$ mit $n$ multiplizierst und anschließend den Exponenten $n$ um eins verringerst.

$f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$

Beispiel

Funktion	Ableitung
$f (x) = x^{3}$	$f^{'} (x) = 3 \cdot x^{3 - 1} = 3 \cdot x^{2}$
$f (x) = 3 \cdot x^{5}$	$f (x) = 3 \cdot 5 \cdot x^{5 - 1} = 15 \cdot x^{4}$
$f (x) = \frac{1}{2} \cdot x = \frac{1}{2} \cdot x^{1}$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{0} = \frac{1}{2}$

Exkurs: rationale Exponenten

Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nützlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:

$f (x) = x^{\frac{3}{5}}$

Bestimme die Ableitung mit der Formel $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ für $n = \frac{3}{5}$ .
	↓
$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{3}{5} \cdot x^{\frac{3}{5} - 1}$
	↓	Schreibe $1$ also unechten Bruch $\frac{5}{5}$ .
	$=$	$\frac{3}{5} \cdot x^{\frac{3}{5} - \frac{5}{5}}$
	↓	Ziehe die Brüche im Exponenten voneinander ab.
	$=$	$\frac{3}{5} \cdot x^{- \frac{2}{5}}$
	↓	Wende die Regel $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ an.
	$=$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$
	↓	Schreibe die Brüche als einen Bruch.
	$=$	$\frac{3}{5 \cdot x^{\frac{2}{5}}}$
	↓	$x^{\frac{2}{5}} = x^{2 \cdot \frac{1}{5}} = {(x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ . Da $z^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{z}$ ist, kannst du weiter umformen.
	$=$	$\frac{3}{5 \cdot \sqrt[5]{x^{2}}}$

Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:

$f (x) = \sqrt[3]{x^{4}} = x^{\frac{4}{3}}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}$

Allgemein:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sqrt[b]{x^{a}} \\ = & x^{\frac{a}{b}} \end{array}$

$f^{'} (x) = \frac{a}{b} \cdot x^{\frac{a}{b} - 1} = \frac{a}{b} \cdot x^{\frac{a}{b} - \frac{b}{b}} = \frac{a}{b} \cdot x^{\frac{a - b}{b}}$

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