Im Artikel wird die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachtet:
f ( x ) = x n , n ∈ N \displaystyle f\left(x\right)=x^n ,\; n\in\mathbb{N} f ( x ) = x n , n ∈ N Diese Funktion kannst du ableiten, indem du f ( x ) f(x) f ( x ) n n n n n n
f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1} f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1
f ( x ) = x 3 f\left(x\right)=x^3 f ( x ) = x 3
f ′ ( x ) = 3 ⋅ x 3 − 1 = 3 ⋅ x 2 f'\left(x\right)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2 f ′ ( x ) = 3 ⋅ x 3 − 1 = 3 ⋅ x 2
f ( x ) = 3 ⋅ x 5 f\left(x\right)=3\cdot x^5 f ( x ) = 3 ⋅ x 5
f ( x ) = 3 ⋅ 5 ⋅ x 5 − 1 = 15 ⋅ x 4 f\left(x\right)=3\cdot5\cdot x^{5-1}=15\cdot x^4 f ( x ) = 3 ⋅ 5 ⋅ x 5 − 1 = 15 ⋅ x 4
f ( x ) = 1 2 ⋅ x = 1 2 ⋅ x 1 f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x\ =\frac{1}{2}\cdot x^1 f ( x ) = 2 1 ⋅ x = 2 1 ⋅ x 1
f ′ ( x ) = 1 2 ⋅ 1 ⋅ x 1 − 1 = 1 2 ⋅ x 0 = 1 2 f'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot x^{1-1}=\frac{1}{2}\cdot x^0=\frac{1}{2} f ′ ( x ) = 2 1 ⋅ 1 ⋅ x 1 − 1 = 2 1 ⋅ x 0 = 2 1
Exkurs: rationale Exponenten Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nützlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:
f ( x ) = x 3 5 f(x)=x^{\frac{3}{5}} f ( x ) = x 5 3
Bestimme die Ableitung mit der Formel f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1} f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 n = 3 5 n=\frac{3}{5} n = 5 3
↓ f ′ ( x ) \displaystyle f'\left(x\right) f ′ ( x ) = = = 3 5 ⋅ x 3 5 − 1 \displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-1} 5 3 ⋅ x 5 3 − 1 ↓ Schreibe 1 1 1 5 5 \frac{5}{5} 5 5
= = = 3 5 ⋅ x 3 5 − 5 5 \displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-\frac{5}{5}} 5 3 ⋅ x 5 3 − 5 5 ↓ Ziehe die Brüche im Exponenten voneinander ab.
= = = 3 5 ⋅ x − 2 5 \displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}} 5 3 ⋅ x − 5 2 ↓ Wende die Regel x − 1 = 1 x x^{-1}=\frac{1}{x} x − 1 = x 1
= = = 3 5 ⋅ 1 x 2 5 \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} 5 3 ⋅ x 5 2 1 ↓ Schreibe die Brüche als einen Bruch.
= = = 3 5 ⋅ x 2 5 \displaystyle \frac{3}{5\cdot x^{\frac{2}{5}}} 5 ⋅ x 5 2 3 ↓ x 2 5 = x 2 ⋅ 1 5 = ( x 2 ) 1 5 x^{\frac{2}{5}}=x^{2\cdot \frac 15}=\left(x^2\right)^{\frac{1}{5}} x 5 2 = x 2 ⋅ 5 1 = ( x 2 ) 5 1 z 1 5 = z 5 z^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{z} z 5 1 = 5 z
= = = 3 5 ⋅ x 2 5 \displaystyle \frac{3}{5\cdot \sqrt[5]{x^2}} 5 ⋅ 5 x 2 3
Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:
f ( x ) = x 4 3 = x 4 3 f(x)=\sqrt[3]{x^4}=x^\frac 4 3 f ( x ) = 3 x 4 = x 3 4
⇒ f ′ ( x ) = 4 3 x 1 3 = 4 3 x 3 = 4 x 3 3 \Rightarrow f'(x)=\frac43 x^\frac13=\frac43\sqrt[3]x=\frac{4\sqrt[3]x}3 ⇒ f ′ ( x ) = 3 4 x 3 1 = 3 4 3 x = 3 4 3 x
Allgemein: f ( x ) = x a b = x a b \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&\sqrt[b]{x^a}\\&=&x^{\frac ab}\end{array} f ( x ) = = b x a x b a
f ′ ( x ) = a b ⋅ x a b − 1 = a b ⋅ x a b − b b = a b ⋅ x a − b b f'(x)=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-1}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-\frac{b}{b}}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a-b}{b}} f ′ ( x ) = b a ⋅ x b a − 1 = b a ⋅ x b a − b b = b a ⋅ x b a − b
Du hast noch nicht genug vom Thema? Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:
Artikel 
