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Ableiten von Potenzfunktionen

Im Artikel wird die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachtet:

Diese Funktion kannst du ableiten, indem du f(x)f(x) mit nn multiplizierst und anschließend den Exponenten nn um eins verringerst.

f(x)=nxn1f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}

Beispiel

Funktion

Ableitung

f(x)=x3f\left(x\right)=x^3

f(x)=3x31=3x2f'\left(x\right)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2

f(x)=3x5f\left(x\right)=3\cdot x^5

f(x)=35x51=15x4f\left(x\right)=3\cdot5\cdot x^{5-1}=15\cdot x^4

f(x)=12x =12x1f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x\ =\frac{1}{2}\cdot x^1

f(x)=121x11=12x0=12f'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot x^{1-1}=\frac{1}{2}\cdot x^0=\frac{1}{2}

Exkurs: rationale Exponenten

Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nützlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:

f(x)=x35f(x)=x^{\frac{3}{5}}

Bestimme die Ableitung mit der Formel f(x)=nxn1f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1} für n=35n=\frac{3}{5}.

f(x)\displaystyle f'\left(x\right)==35x351\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-1}

Schreibe 11 also unechten Bruch 55\frac{5}{5}.

==35x3555\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{\frac{3}{5}-\frac{5}{5}}

Ziehe die Brüche im Exponenten voneinander ab.

==35x25\displaystyle \frac{3}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}}

Wende die Regel x1=1xx^{-1}=\frac{1}{x} an.

==351x25\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}

Schreibe die Brüche als einen Bruch.

==35x25\displaystyle \frac{3}{5\cdot x^{\frac{2}{5}}}

x25=x215=(x2)15x^{\frac{2}{5}}=x^{2\cdot \frac 15}=\left(x^2\right)^{\frac{1}{5}}. Da z15=z5z^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{z} ist, kannst du weiter umformen.

==35x25\displaystyle \frac{3}{5\cdot \sqrt[5]{x^2}}

Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:

f(x)=x43=x43f(x)=\sqrt[3]{x^4}=x^\frac 4 3

f(x)=43x13=43x3=4x33\Rightarrow f'(x)=\frac43 x^\frac13=\frac43\sqrt[3]x=\frac{4\sqrt[3]x}3

Allgemein:

f(x)=xab=xab\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&\sqrt[b]{x^a}\\&=&x^{\frac ab}\end{array}

f(x)=abxab1=abxabbb=abxabbf'(x)=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-1}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a}{b}-\frac{b}{b}}=\frac{a}{b}\cdot x^{\frac{a-b}{b}}

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