Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.
Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:
die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,
die Funktion dann passend aufzuspalten,
die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann
die Ableitungsregeln anzuwenden.
f ( x ) = x n f\left(x\right)=x^n f ( x ) = x n n ∈ R n\in\mathbb{R} n ∈ R
f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1} f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1
f ( x ) = e x f\left(x\right)=e^x f ( x ) = e x e e e
f ′ ( x ) = e x f'\left(x\right)=e^x f ′ ( x ) = e x
f ( x ) = ln ( x ) f\left(x\right)=\ln\left(x\right) f ( x ) = ln ( x )
f ′ ( x ) = 1 x f'\left(x\right)=\frac1x f ′ ( x ) = x 1
f ( x ) = sin ( x ) f\left(x\right)=\sin\left(x\right) f ( x ) = sin ( x )
f ′ ( x ) = cos ( x ) f'\left(x\right)=\cos\left(x\right) f ′ ( x ) = cos ( x )
f ( x ) = cos ( x ) f\left(x\right)=\cos\left(x\right) f ( x ) = cos ( x )
f ′ ( x ) = − sin ( x ) f'\left(x\right)=-\sin\left(x\right) f ′ ( x ) = − sin ( x )
f ( x ) = tan ( x ) f\left(x\right)=\tan\left(x\right) f ( x ) = tan ( x )
f ′ ( x ) = 1 [ cos ( x ) ] 2 = 1 + tan 2 ( x ) f'\left(x\right)=\frac1{\left[\cos\left(x\right)\right]^2}=1+\tan^2(x) f ′ ( x ) = [ c o s ( x ) ] 2 1 = 1 + tan 2 ( x )
Ableitungsregeln
Faktorregel f ( x ) = a ⋅ u ( x ) , a ∈ R f(x)=a\cdot u(x),\; a\in \mathbb R f ( x ) = a ⋅ u ( x ) , a ∈ R
f ′ ( x ) = a ⋅ u ′ ( x ) f'(x)=a\cdot u'(x) f ′ ( x ) = a ⋅ u ′ ( x )
f ( x ) = 2 ⋅ x 4 f(x)=2\cdot x^4 f ( x ) = 2 ⋅ x 4
f ′ ( x ) = 2 ⋅ 4 x 3 = 8 x 3 f'(x)=2\cdot 4x^3=8x^3 f ′ ( x ) = 2 ⋅ 4 x 3 = 8 x 3
Summenregel f ( x ) = u ( x ) + v ( x ) f(x)=u(x)+v(x) f ( x ) = u ( x ) + v ( x )
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) + v ′ ( x ) f'(x)=u'(x)+v'(x) f ′ ( x ) = u ′ ( x ) + v ′ ( x )
f ( x ) = 3 x + x 2 f(x)=3x+x^2 f ( x ) = 3 x + x 2
f ′ ( x ) = 3 + 2 x f'(x)=3+2x f ′ ( x ) = 3 + 2 x
Produktregel f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) f(x)=u(x)\cdot v(x) f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x )
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) f ′ ( x ) = u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x )
f ( x ) = x ⋅ sin ( x ) f(x)=x\cdot \sin (x) f ( x ) = x ⋅ sin ( x )
f ′ ( x ) = 1 ⋅ sin x + x ⋅ cos ( x ) f'(x)=1\cdot \sin x + x \cdot \cos(x) f ′ ( x ) = 1 ⋅ sin x + x ⋅ cos ( x )
Quotientenregel f ( x ) = u ( x ) v ( x ) f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} f ( x ) = v ( x ) u ( x )
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) [ v ( x ) ] 2 f'(x)=\frac{u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^2} f ′ ( x ) = [ v ( x ) ] 2 u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ′ ( x )
f ( x ) = x 2 + 1 x 3 f(x)=\frac{x^2+1}{x^3} f ( x ) = x 3 x 2 + 1
f ′ ( x ) = 2 x ⋅ x 3 − ( x 2 + 1 ) ⋅ 3 x 2 ( x 3 ) 2 f'\left(x\right)=\frac{2x\cdot x^3-\left(x^2+1\right)\cdot3x^2}{\left(x^3\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 3 ) 2 2 x ⋅ x 3 − ( x 2 + 1 ) ⋅ 3 x 2
Kettenregel f ( x ) = u ( v ( x ) ) f(x)=u(v(x)) f ( x ) = u ( v ( x ))
f ′ ( x ) = u ′ ( v ( x ) ) ⋅ v ′ ( x ) f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x) f ′ ( x ) = u ′ ( v ( x )) ⋅ v ′ ( x )
f ( x ) = sin ( 2 x − 1 ) f(x)=\sin(2x-1) f ( x ) = sin ( 2 x − 1 )
f ′ ( x ) = cos ( 2 x − 1 ) ⋅ 2 f'(x)=\cos(2x-1)\cdot 2 f ′ ( x ) = cos ( 2 x − 1 ) ⋅ 2
Weitere Beispiele Ableitung von a x a^x a x Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von f ( x ) = a x f(x)=a^x f ( x ) = a x a > 0 a>0 a > 0
Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich:
f ( x ) = a x = e ln ( a ) ⋅ x ⏞ v ( x ) ⏟ u ( x ) \displaystyle f(x)=a^x=\underbrace{e^{\overbrace{\ln(a)\cdot x}^{v(x)}}}_{u(x)} f ( x ) = a x = u ( x ) e ln ( a ) ⋅ x v ( x ) mit u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ( x ) = ln ( a ) ⋅ x v(x)=\ln(a)\cdot x v ( x ) = ln ( a ) ⋅ x
Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich:
f ′ ( x ) = e ln ( a ) ⋅ x ⋅ ln ( a ) = ln ( a ) ⋅ a x \displaystyle f'(x)=e^{\ln(a)\cdot x}\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot a^x f ′ ( x ) = e l n ( a ) ⋅ x ⋅ ln ( a ) = ln ( a ) ⋅ a x Ableitung von x x x^x x x Berechne die Ableitung von f ( x ) = x x f(x)=x^x f ( x ) = x x
Die Funktion f f f f f f
f ( x ) = e ln ( x ) ⋅ x = u ( v ( x ) ) \displaystyle f(x)=e^{\ln(x)\cdot x}=u(v(x)) f ( x ) = e l n ( x ) ⋅ x = u ( v ( x )) mit u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ( x ) = ln ( x ) ⋅ x v(x)=\ln(x) \cdot x v ( x ) = ln ( x ) ⋅ x
Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden:
f ′ ( x ) \displaystyle f'(x) f ′ ( x ) = = = [ u ( v ( x ) ) ] ′ \displaystyle [u(v(x))]' [ u ( v ( x )) ] ′ ↓ Wende die Kettenregel an.
= = = u ′ ( v ( x ) ) ⋅ v ′ ( x ) \displaystyle u'(v(x))\cdot v'(x) u ′ ( v ( x )) ⋅ v ′ ( x ) ↓ Leite nun u ( x ) = e x u(x)=e^x u ( x ) = e x v ( x ) = ln ( x ) ⋅ x v(x)=\ln(x)\cdot x v ( x ) = ln ( x ) ⋅ x
Setze die Ableitungen ein.
= = = e ln ( x ) ⋅ x ⋅ ( 1 + ln ( x ) ) \displaystyle e^{\ln(x)\cdot x}\cdot(1+\ln(x)) e l n ( x ) ⋅ x ⋅ ( 1 + ln ( x )) = = = x x ⋅ ( 1 + ln ( x ) ) \displaystyle x^x\cdot(1+\ln(x)) x x ⋅ ( 1 + ln ( x ))
Ableitung von log a ( x ) \log_a(x) log a ( x ) Zu einem gegebenen a > 0 , a ≠ 1 a>0,\;a\neq1 a > 0 , a = 1 f ( x ) = log a ( x ) f(x)=\log_a(x) f ( x ) = log a ( x )
Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von f f f
Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir:
f ( x ) = log a ( x ) = ln ( x ) ln ( a ) \displaystyle f(x)=\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)} f ( x ) = log a ( x ) = ln ( a ) ln ( x ) Da ln ( a ) \ln(a) ln ( a ) x x x f ′ ( x ) = 1 x ⋅ ln ( a ) f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(a)} f ′ ( x ) = x ⋅ l n ( a ) 1
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