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Quotientenregel

Die Quotientenregel bietet eine Möglichkeit, die Ableitung eines Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen u(x)u\left(x\right) und v(x)v\left(x\right) zu berechnen:

Video zur Quotientenregel

1. Merkregel "NAZ minus ZAN"

Als Merkregel f√ľr den Z√§hler l√§sst sich die Kurzform "NAZ minus ZAN" f√ľr

"Nenner ("N") mal Ableitung des Zählers ("AZ") minus Zähler ("Z") mal Ableitung des Nenners ("AN"))" benutzen.

2. Merkregel "AZN minus ANZ"

Eine weitere Merkregel f√ľr den Z√§hler ist die Kurzform "AZN minus ZAN":

Ableitung des Zählers ("AZ") mal Nenner ("N") minus Ableitung des Nenners ("AN2) mal Zähler ("Z")

Beispiel 1

Mit der Quotientenregel ergibt sich die Ableitung von f(x)=(sin‚Ā°(x)x2)f(x)=\left(\frac{\sin(x)}{x^2}\right) als

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von f(x)=tan‚Ā°(x)f(x) = \tan(x).

Der Tangens ist nach Definition tan‚Ā°(x)=sin‚Ā°(x)cos‚Ā°(x)\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.

tan‚Ā°‚Ä≤(x)\displaystyle \tan'(x)==(sin‚Ā°(x)cos‚Ā°(x))‚Ä≤\displaystyle \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'
‚Üď

Quotientenregel

==cos‚Ā°2(x)+sin‚Ā°2(x)cos‚Ā°2(x)\displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
‚Üď

Bruch auseinanderziehen

==cos‚Ā°2(x)cos‚Ā°2(x)+sin‚Ā°2(x)cos‚Ā°2(x)\displaystyle \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
==1+(sin‚Ā°(x)cos‚Ā°(x))2\displaystyle 1+\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2
‚Üď

Definition des Tangens

==1+tan‚Ā°(x)2\displaystyle 1+\tan(x)^2

Andererseits kann die Ableitung des Tangens auch angegeben werden als:

tan‚Ā°‚Ä≤(x)\displaystyle \tan'(x)==(sin‚Ā°(x)cos‚Ā°(x))‚Ä≤\displaystyle \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'
‚Üď

Quotientenregel

==cos‚Ā°2(x)+sin‚Ā°2(x)cos‚Ā°2(x)\displaystyle \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
‚Üď

Additionstheorem sin‚Ā°2(x)+cos‚Ā°2(x)=1\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

==1cos‚Ā°2(x)\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2(x)}

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