Aufgaben zur Kettenregel

$f\left(x\right)=\sqrt{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$g(x)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{l}\\ h(x)=x^3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$h^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot 3x^2\\ & & \\ & =& \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}$

Am Ende könntest du noch vereinfachen.

$f(x)=\sqrt{2x^{-3}}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$\begin{array}{l}g(x)=\sqrt{x}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}h(x)=\frac{2}{x^3}\\ \end{array}$

$\Rightarrow f(x)=g(h(x))$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ \end{array}$

$h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{6}{x^4}}$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{h(x)}}}\cdot {\displaystyle \frac{-6}{x^4}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{2x^5}}}\end{array}$

$f\left(x\right)=e^{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=e^x\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h\left(x\right)=x^3\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Bestimme die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=e^x\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h^{\prime }\left(x\right)=3x^2\end{array}$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& e^{x^3}\cdot 3x^2\end{array}$

$f(x)=ln(x^2+4)$

Finde die einzelnen Funktionen.

Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h^{\prime }\left(x\right)=2x\end{array}$

Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{h\left(x\right)}\cdot 2x\\ & & \\ & =& \frac{2x}{x^2+4}\end{array}$

$f\left(x\right)=\cos \left(x^2\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\cos \left(x\right)\\ h\left(x\right)=x^2\text{}\end{array}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\\ h^{\prime }\left(x\right)=2x\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f\left(x\right)={\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=x^2\\ h\left(x\right)=\sin \left(x\right)\\ \end{array}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=2\cdot x\\ h^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right)\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)$

Setze zunächst $g^{\prime }$ und $h^{\prime }$ ein.

$=2\cdot (h\left(x\right))\cdot \cos \left(x\right)$

Nun setze $h(x)=\sin (x)$ ein.

$=2\cdot \sin \left(x\right)\cdot \cos \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\sin \left(x\right)\\ h\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Berechne die einzelnen Ableitungen

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right)\\ h^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

$f(x)=\sin (\cos (\sin (x)))$

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit

$\begin{array}{l}g(x)=\sin (x)\\ h(x)=\cos (\sin (x))\\ \end{array}$

gerade $f$ ergibt.

$\Rightarrow f(x)=(g\circ h)(x)=g(h(x)))=\sin (\cos (\sin (x)))$

Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h^{\prime }$ zu bestimmen.

Nach der Kettenregel gilt dann

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$.

$g^{\prime }(h(x))$ kannst du direkt bestimmen:

Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.

$g^{\prime }(x)=\cos (x)$

$\Rightarrow g^{\prime }(h(x))=\cos (\cos (\sin (x)))$

Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$.

$\begin{array}{l}u(x)=\cos (x)\\ v(x)=\sin (x)\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow h(x)=u\circ v=u(v(x))=\cos (\sin (x))\\ \end{array}$

Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$, um die Kettenregel

$h^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$

zu verwenden.

$\begin{array}{l}{u}^{\prime }(x)=-\sin (x)\\ v^{\prime }(x)=\cos (x)\end{array}$

Berechne $h^{\prime }$.

$\begin{array}{rcl}{h}^{\prime }(x)& =& u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)\\ & =& -\sin (\sin (x))\cdot \cos (x)\end{array}$

Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen

${(g(h(x)))}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$h(x)=x^2+1$

Bestimme die Ableitung

Bekannt: $\begin{array}{ccc}h(x)& =& x^2+1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos \left(x\right)\end{array}$

Die Teilfunktion $h(x)$ kennst du bereits, also musst du nur noch $g(x)$ bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung $g^{\prime }(x)=\cos (x)$ hat.

$\Rightarrow g(x)=\sin (x)$

Setze nun in die Formel ein

$f(x)=g(h(x))=\sin (x^2+1)$

Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.

$f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x}\right)$

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\ln \left(x\right)\\ h\left(x\right)=\sqrt{x}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ h^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

$f(x)=e^{\sin (x^2)}$

Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.

$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$.

$\begin{array}{l}g(x)=e^x\\ h(x)=\sin (x^2)\\ \Rightarrow f(x)=g(h(x))\end{array}$

Leite $u$ und $v$ ab.

$g^{\prime }(x)=e^x$

$\begin{array}{l}u(x)=\sin (x)\\ v(x)=x^2\\ \Rightarrow h(x)=u(v(x))\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}^{\prime }(x)=\cos (x)\\ v^{\prime }(x)=2x\end{array}$