Aufgaben zur Kettenregel

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Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.
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Zu text-exercise-group 15383: Zu kompliziert? g? h?
CutterSlade 2015-03-26 16:54:35+0100
Lösung zu Aufgabe a) : Ich glaube die erste Übungsaufgabe sollte keine abstrakt abzuleitenden Therme (sin, cos) enthalten, sondern nur wie im Artikel zur Kettenregel (x-1)² oder so zur Wiederholung und Verinnerlichung des Konzepts. Außerdem enthält die Aufgabe gleich eine doppelt verschachtelte/verkettete innere und äußere Ableitung, wenn ich das richtig verstanden habe. Diese Aufgabe sollte daher eine der letzten in dieser Liste sein. Wo kommen plötzlich g und h her? Dienen die der Verdeutlichung der doppelten Verkettung? Beziehen sich u(x)=cos(x) und v(x)=sin(x) (Zeilen 6,7 der Lösung) auf die Originalfunktion oder auf g(x), h(x) oder g'(x) aus Zeile 2,3 und 5 der Lösung? Vielleicht sollten hier noch einmal Pfeile zur Verdeutlichung genutzt werden? Ich bin jetzt ziemlich verwirrt, zu viele Klammern :D!
Nish 2015-03-31 13:52:36+0200
Hallo ClutterSlade,
danke dir erstmal für deine Mitarbeit. Ich gebe dir recht, dass die Aufgabe eher weiter unten sein sollte. Ich kümmere mich darum. Ich werde auch die Lösung umschreiben, dass es hoffentlich verständlicher wird. u und v beziehen sich auf h(x). Was der Ersteller dieser Lösung macht, ist, dass er h(x) mit u(x) und v(x) in h(x)=u(v(x)) umzuschreibt, um erneut die Kettenregel anzuwenden. Also definiert er zunächst g und h um f in f(x)= g(h(x)) darzustellen und Kettenregel anzuwenden. Dann u und v um h darzustellen und Kettenregel zu verwenden. Also führt er die Funktionen g, h, u und v ein, um aufzuzeigen, dass f bzw. h eine verkettete Funktion ist und die Kettenregel verwendet werden kann.
Viele Grüße,
Nish
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f(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt{x^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt{x^3}
Finde die einzelnen Funktionen.
Hinweis
x3\sqrt{x^3} kannst du auch als x32x^{\frac32} schreiben. Dann kannst du die Formel für die Ableitung von xnx^n, die auch für rationale Exponenten gilt, verwenden. Du erhälst natürlich das gleiche Ergebnis und es geht schneller. Daher solltest du die Kettenregel als Alternativlösung im Hinterkopf behalten, falls du mal die Formel für die Ableitung von xnx^n vergessen solltest ;)
g(x)=xg(x)=\sqrt{x}
h(x)=x3\\h(x)= x^3
⇒f(x)=g(h(x))\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Finde die einzelnen Ableitungen.
g′(x)=12xg'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}
h′(x)=3x2h'\left(x\right)=3x^2
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=12h(x)⋅3x2=3x22x3\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\\\&=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}
Am Ende könntest du noch vereinfachen.
f′(x)=3x22x3=32x4x3=32xf'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x^4}{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}
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f(x)=2x−3f(x) = \sqrt{2x^{-3}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=2x−3f(x) = \sqrt{2x^{-3}}
Finde die einzelnen Funktionen.
Hinweis
x−3x^{-3} kann auch als 1x3\frac{1}{x^3} geschrieben werden.
g(x)=xg(x) = \sqrt{x}\\
h(x)=2x3h(x) = \frac{2}{x^3}\\
⇒f(x)=g(h(x))\Rightarrow f(x) = g(h(x))
Finde die einzelnen Ableitungen.
g′(x)=12xg'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
h′(x)=−6x4h'(x) = -\frac{6}{x^4}
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=12h(x)⋅−6x4=−3x42x−3=−32x5\begin {array}{rcl}f'(x) &=& g'(h(x)) \cdot h'(x) \\\\&=& \frac{1}{2\sqrt{h(x)}} \cdot \frac{-6}{x^4}\\\\&=& \frac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}\\\\&=& \frac{-3}{\sqrt{2x^5}}\end{array}
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f(x)=ex3f(x) = e^{x^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=ex3f \left( x \right) = e^{x^3}
Finde die einzelnen Funktionen.
g(x)=exg \left( x \right) = e^x\\h(x)=x3\\h \left( x \right) = x^3\\⇒f(x)=g(h(x))\\\Rightarrow f \left( x \right) = g \left( h \left( x \right) \right)
Bestimme die einzelnen Ableitungen.
g′(x)=exg'\left( x\right) = e^x\\h′(x)=3x2\\h' \left( x \right) = 3 x^2
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=ex3⋅3x2\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&e^{x^3} \cdot 3x^2\end{array}
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f(x)=ln⁡(x2+4)f(x)=\ln(x^2+4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

f(x)=ln(x2+4)f(x)=ln\left(x^2+4\right)
Finde die einzelnen Funktionen.
g(x)=ln(x)\displaystyle g\left(x\right)=ln\left(x\right)
h(x)=x2+4\displaystyle h\left(x\right)=x^2+4
⇒f(x)=g(h(x))\displaystyle \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
g′(x)=1xg'\left(x\right) = \frac{1}{x}\\h′(x)=2x\\h'\left(x\right) = 2x
Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=1h(x)⋅2x=2xx2+4\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\\\&=&\frac{1}{h\left(x\right)}\cdot2x\\\\&=&\frac{2x}{x^2+4}\end{array}
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Bestimme g(x) und h(x) des folgenden Terms:
f(x)=g(h(x))=(6x−x3)4f(x) = g(h(x)) = (6x-x^3)^4
Leite anschließend g(x) und h(x) ab und sortiere sie im untenstehenden Puzzle so ein, dass du die Formel der Kettenregel bilden kannst. Zur Selbstüberprüfung kannst du den Reiter "Tipp anzeigen" öffnen.
Tipp: Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.
Wie funktioniert das Mathepuzzle?
Zieh die blauen Bausteine in der unteren Leiste in das weiße Kästchen in der Mitte. Die Bausteine mit zwei weiteren weißen Kästchen entsprechen Operatoren (Plus, Minus, Mal, Geteilt).
Wenn sich der Term grün färbt, hast du alles richtig gemacht!
Hinweis 1 : g(x) und h(x)
Unterteile f(x) so, dass du zwei Terme erhältst, die du ohne Probleme ableiten kannst.
g(x)=x⁴g(x) = x⁴
h(x)=6x−x³h(x) = 6x-x³
Hinweis 2: g'(x) und h'(x)
Leite g(x) und h(x) ab.
g′(x)=4x³g'(x) = 4x³
h′(x)=6−3x²h'(x) = 6-3x²
Hinweis 3: Die Kettenregel
f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
Dies ist eine mögliche Lösung der Aufgabe.
mögliche Lösung der Aufgabe
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Bestimme g(x) und h(x) des folgenden Terms:
f(x)=g(h(x))=ln(5x2−3x)f(x) = g(h(x)) = ln(5x^2-3x)
Leite anschließend g(x) und h(x) ab und sortiere sie im untenstehenden Puzzle so ein, dass du die Formel der Kettenregel bilden kannst. Zur Selbstüberprüfung kannst du den Reiter "Tipp anzeigen" öffnen.
Tipp: Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.
Wie funktioniert das Mathepuzzle?
Zieh die blauen Bausteine in der unteren Leiste in das weiße Kästchen in der Mitte. Die Bausteine mit zwei weiteren weißen Kästchen entsprechen Operatoren (Plus, Minus, Mal, Geteilt). Du musst nicht alle Operatoren benutzen!
Wenn sich der Term grün färbt, hast du alles richtig gemacht!
Hinweis 1 : g(x) und h(x)
Unterteile f(x) so, dass du zwei Terme erhältst, die du ohne Probleme ableiten kannst.
g(x)=ln(x)g(x) = ln(x)
h(x)=5x2−3xh(x) = 5x^2-3x
Hinweis 2: g'(x) und h'(x)
Leite g(x) und h(x) ab.
g′(x)=1/xg'(x) = 1/x
h′(x)=10x−3h'(x) = 10x-3
Hinweis 3: Die Kettenregel
f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
Dies ist eine mögliche Lösung der Aufgabe. Es sind mehrere Lösungen möglich!
eine mögliche Lösung der Aufgabe zur Kettenregel
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Bestimme g(x) und h(x) des folgenden Terms:
f(x)=g(h(x))=e7x4−2x2f(x) = g(h(x)) = e^{7x^4-2x^2}
Leite anschließend g(x) und h(x) ab und sortiere sie im untenstehenden Puzzle so ein, dass du die Formel der Kettenregel bilden kannst. Zur Selbstüberprüfung kannst du den Reiter "Tipp anzeigen" öffnen.
Tipp: Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.
Wie funktioniert das Mathepuzzle?
Zieh die blauen Bausteine in der unteren Leiste in das weiße Kästchen in der Mitte. Die Bausteine mit zwei weiteren weißen Kästchen entsprechen Operatoren (Plus, Minus, Mal, Geteilt). Du musst nicht alle Bausteine benutzen!
Wenn sich der Term grün färbt, hast du alles richtig gemacht!

Hinweis 1 : g(x) und h(x)
Unterteile f(x) so, dass du zwei Terme erhältst, die du ohne Probleme ableiten kannst.
g(x)=exg(x) = e^x
h(x)=7x4−2x2h(x) = 7x^4-2x^2
Hinweis 2: g'(x) und h'(x)
Leite g(x) und h(x) ab.
g′(x)=exg'(x) = e^x
h′(x)=28x3−4x4h'(x) = 28x^3-4x^4
Hinweis 3: Die Kettenregel
f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
Dies ist eine Beispiellösung. Es sind mehrere Lösungen möglich.
mögliche Lösung zur Aufgabe
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Sei %%f(x)%% eine differenzierbare Funktion, sodass %%f(x)>0%% für alle %%x \in \mathbb{R}%% gilt.

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Berechne die Ableitung von %%\ln(f(x))%% mit der Kettenregel.

Zuerst bestimmen wir die Funktionen %%v(x)%% und %%u(x)%%. Hier ist %%v(x)=f(x)%% und %%u(x)=\ln(x)%%. Wir wissen, dass %%v'(x)=f'(x)%% und %%u'(x)=1/x%%. Einsetzen ergibt $$\Big(\ln(f(x))\Big)'=u'(v(x))\cdot v'(x) = \frac{1}{v(x)} \cdot f'(x)= \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

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Sei %%a%% eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von %%f(x)=a^x%% zu berechnen.

Wir verwenden die Formel aus a) $$\Big(\ln(f(x))\Big)'= \frac{f'(x)}{f(x)}$$ und formen nach %%f'(x)%% um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit %%f(x)%% und erhalten $$f'(x)= \Big(\ln(f(x))\Big)' \cdot f(x).$$ Nun setzen wir %%f(x)=a^x%% ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln %%\ln(a^x)=x \cdot \ln(a)%% schreiben können. Damit folgt %%\Big(\ln(a^x)\Big)'=\ln(a)%%. Das ergibt $$f'(x)= \ln(a) \cdot a^x.$$

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Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von %%x^x%% berechnen willst?

Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion %%f(x)%% die Formel $$f'(x)= \Big(\ln(f(x))\Big)' \cdot f(x).$$ Jetzt setzen wir %%f(x)=x^x%% ein. Mit den Logarithmusregeln folgt %%\ln(f(x))=x \cdot \ln(x)%%. Also ist $$\Big(\ln(f(x))\Big)'=1 \cdot \ln(x)+x \cdot \frac{1}{x}=\ln(x)+1.$$ Somit folgt $$f'(x)= \Big(\ln(f(x))\Big)' \cdot f(x)= (\ln(x)+1) \cdot x^x.$$

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Bestimme die Ableitung der Funktion ff :
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Zu text-exercise-group 91916:
Nish 2018-07-18 21:15:05+0200
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Alle Teilaufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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f(x)=cos⁡(x2)f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

f(x)=cos⁡(x2)f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)
Zerlege ff, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
g(x)=cos⁡(x)h(x)=x2g\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\h\left(x\right)=x^2
⇒f(x)=g(h(x))\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Berechne die einzelnen Ableitungen.
g′(x)=−sin⁡(x)h′(x)=2xg'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\\h'\left(x\right)=2x
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=−sin⁡(x2)⋅2x=−2xsin⁡(x2)\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\&=&-\sin\left(x^2\right)\cdot 2x\\&=&-2x\sin\left(x^2\right)\end{array}
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f(x)=(sin⁡(x))2f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^{2^{ }}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

f(x)=(sin⁡(x))2f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2
Zerlege ff, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
g(x)=x2h(x)=sin⁡(x)g\left(x\right)=x^2\\h\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\
⇒f(x)=g(h(x))\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)
Berechne die einzelnen Ableitungen.
g′(x)=2⋅xh′(x)=cos⁡(x)'\left(x\right)={\textstyle2}\cdot{\textstyle x}\\h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)
Setze zunächst g′g' und h′h' ein.
=2⋅(h(x))⋅cos⁡(x)=2\cdot(h{\left(x\right)})\cdot\cos\left(x\right)
Nun setze h(x)=sin⁡(x)h(x)=\sin(x) ein.
=2⋅sin⁡(x)⋅cos⁡(x)=2\cdot\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)

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f(x)=sin⁡(1x)f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)
f(x)=sin⁡(cos⁡(sin⁡(x)))f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))^{ }

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

f(x)=sin⁡(cos⁡(sin⁡(x)))f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))
Zerlege ff so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen gg und hh mit
g(x)=sin⁡(x)h(x)=cos⁡(sin⁡(x))g(x)=\sin(x)\\h(x)=\cos(\sin(x))\\
gerade ff ergibt.
⇒f(x)=(g∘h)(x)=g(h(x)))=sin⁡(cos⁡(sin⁡(x)))\Rightarrow f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)))=\sin(\cos(\sin(x)))
Du siehst, dass hh wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung h′h' zu bestimmen.
Nach der Kettenregel gilt dann
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

g′(h(x))g'(h(x)) kannst du direkt bestimmen:
Bestimme Ableitung von gg und setze hh ein.
g′(x)=cos⁡(x)g'(x)=\cos(x)
⇒g′(h(x))=cos⁡(cos⁡(sin⁡(x)))\Rightarrow g'(h(x)) = \cos(\cos(\sin(x)))
Um hh abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also hh entsprechend in uu und vv.
u(x)=cos⁡(x)v(x)=sin⁡(x)u(x)=\cos(x)\\v(x)=\sin(x)\\
⇒h(x)=u∘v=u(v(x))=cos⁡(sin⁡(x))\Rightarrow h(x)= u \circ v = u(v(x))=\cos(\sin(x))\\
Beachte
Die Bezeichnung der zu verkettenden Funktionen ist natürlich willkürlich gewählt. Man kann statt uu und vv, auch mm und nn wählen, sodass dann hh als (h(x)=n∘m=n(m(x))\left(h(x)=n\circ m=n(m(x)\right) geschrieben werden kann.
Berechne die Ableitungen von uu und vv, um die Kettenregel
h′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)h'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)
zu verwenden.
u′(x)=−sin⁡(x)v′(x)=cos⁡(x)u'(x)=-\sin(x)\\v'(x)=\cos(x)
Berechne h′h'.
h′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)=−sin⁡(sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\begin{array}{rcl}h'(x)&=&u'(v(x))\cdot v'(x)\\&=&-\sin(\sin(x))\cdot\cos(x)\end{array}
Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von ff zu berechnen
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=cos⁡(h(x))⋅h′(x)=cos⁡(cos⁡(sin⁡(x)))⋅(−sin⁡(sin⁡(x)))⋅cos⁡(x)=−cos⁡(x)⋅sin⁡(sin⁡(x))⋅cos⁡(cos⁡(sin⁡(x)))\begin{array}{rcl}f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=&\cos(h(x))\cdot h'(x)\\&=&\cos(\cos(\sin(x))) \cdot (-\sin(\sin(x)))\cdot \cos(x)\\&=&-\cos(x)\cdot \sin(\sin(x)) \cdot \cos(\cos(\sin(x)))\end{array}
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Finde die zugehörige Funktion zu den gegeben Ableitungen (durch Hinsehen). Beim Ableiten wurde die Kettenregel verwendet!

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%%f'\left(x\right) = \cos\left(x^2+1\right) \cdot 2x%%

Kettenregel umgekehrt

Formuliere zunächst die Kettenregel:

%%\left(g(h(x)) \right)' = g'(h(x)) \cdot h'(x)%%

Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: %%f(x) = g(h(x))%%.

Die Ableitung hat dann die Form %%f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)%%

Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen %%g'(x)%%, %%h(x)%% und %%h'(x)%%

%%\begin{array}{rcccc} f'(x) & = & \cos\left(x^2+1\right)&\cdot & 2x \\ & = & g'(h(x)) &\cdot &h'(x)\end{array}%%

Stelle eine Vermutung auf, was die geuschten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!

Vermutung

Stelle zunächst eine Vermutung auf für %%h'(x) = \ldots ?%% und %%g'(h(x)) = \ldots ?%%

%%h'(x) = 2x%%

%%g'(h(x)) = \cos(x^2 + 1)%%

Bestimme %%g'(x)%% und %%h(x)%%

%%g'(x) = \cos(x)%%

%%h(x) = x^2 + 1%%

Überprüfe nun, ob die Ableitung %%h'%% und Funktion %%h%% überhaupt zusammenpassen. Leite dafür %%h%% ab.

%%h(x) = x^2+1%%

Bestimme die Ableitung

%%h'(x) = (x^2+1)'=2x%%

Die Vermutung %%h'(x)=2x%% passt also zu %%h(x) = x^2 + 1%%.

Funktion f bestimmen

Gesucht: %%f(x)=g(h(x))%%

Bekannt: %%\begin{array}[t]{ltl}h(x) &=& x^2+1\\ g'(x)&=&\cos\left(x\right)\end{array}%%

Die Teilfunktion %%h(x)%% kennst du bereits, also musst du nur noch %%g(x)%% bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung %%g'(x) = \cos(x)%% hat.

%%\Rightarrow g(x)=\sin(x)%%

Setze nun in die Formel ein

%%f(x) =g(h(x)) =\sin(x^2+1)%%

Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.

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Bestimme die Ableitung von %%f%% :

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%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)%%

Finde die einzelnen Funktionen

%%g\left(x\right)=\ln\left(x\right)\\h\left(x\right)=\sqrt x\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Finde die einzelnen Ableitungen

%%g'\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt x}%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\frac{1}{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\\ &=&\frac{1}{2x}\end{array}%%

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%%f\left(x\right)=e^{x^2+2\sqrt x}%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f\left(x\right)=e^{x^2+2\sqrt x}%%

Zerlege %%f%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

%%g\left(x\right)=e^x\\ h\left(x\right)=x^2+2\sqrt x%%

Leite die einzelnen Funktionen ab

%%g'\left(x\right)=e^x\\ h'\left(x\right)=2x+\frac{1}{\sqrt x}%%

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&e^{x^2+2\sqrt x}\cdot\left(2x+\frac{1}{\sqrt x}\right)\end{array}%%

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%%f(x)=e^{\sin(x^2)}%%

Ableitung mit der Kettenregel

%%f(x)=e^{\sin(x^2)}%%

Zerlege %%f%% so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

%%g(x)=e^x\\ h(x)=\sin(x^2)\\ \Rightarrow f(x)=g(h(x))%%

Um die Ableitung von %%f%% anzugeben, muss man die Ableitungen von %%g%% und %%h%% bestimmen.

%%g%% kann direkt abgeleitet werden, um %%h%% abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu %%h%%.

%%g'(x)=e^x%%

%%u(x)=\sin(x)\\ v(x)=x^2\\ \Rightarrow h(x)=u(v(x))%%

Leite %%u%% und %%v%% ab.

%%u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=2x%%

Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.

%%\begin{array}{rcl} f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &=& e^{h(x)} \cdot h'(x)\\ &=& e^{\sin(x^2)}\cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)\\ &=& e^{\sin(x^2)}\cdot \cos(x^2) \cdot 2x \end{array}%%

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%%f(t) = e^{t^3+\sin(t)}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Infos zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel. Im Folgenden kannst du mit %%f(t)%% genauso umgehen wie mit %%f(x)%%, nur dass als Variable %%t%% und nicht %%x%% verwendet wird und nach dieser abgeleitet wird.

%%f(t) = e^{t^3+\sin(t)}%%

Zerlege %%f(t)%%, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

%%g(t) = e^t%%

%%h(t) = t^3+\sin(t)%%

Leite die einzelnen Funktionen ab.

%%g'(t) = e^t%%

%%h'(t) = 3t^2 + \cos(t)%%

Kettenregel aufstellen

%%f'(t) = g'(h(t)) \cdot h'(t)%%

Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.

%%f'(t) = e^{t^3+\sin(t)} \cdot (3t^2+\cos(t))%%

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