$f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x}\right)$

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\ln \left(x\right)\\ h\left(x\right)=\sqrt{x}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ h^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

$f(x)=e^{\sin (x^2)}$

Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.

$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$.

$\begin{array}{l}g(x)=e^x\\ h(x)=\sin (x^2)\\ \Rightarrow f(x)=g(h(x))\end{array}$

Leite $u$ und $v$ ab.

$g^{\prime }(x)=e^x$

$\begin{array}{l}u(x)=\sin (x)\\ v(x)=x^2\\ \Rightarrow h(x)=u(v(x))\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}^{\prime }(x)=\cos (x)\\ v^{\prime }(x)=2x\end{array}$