$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt x\right)$

$g\left(x\right)=\ln\left(x\right)\\h\left(x\right)=\sqrt x\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

$g'\left(x\right)=\frac{1}{x}\\h'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt x}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

$f(x)=e^{\sin(x^2)}$

Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.

$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$.

$g(x)=e^x\\h(x)=\sin(x^2)\\\Rightarrow f(x)=g(h(x))$

Leite $u$ und $v$ ab.

$g'(x)=e^x$

$u(x)=\sin(x)\\v(x)=x^2\\\Rightarrow h(x)=u(v(x))$

$u'(x)=\cos(x)\\v'(x)=2x$