$f\left(x\right)=\cos\left(x^2\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$g\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\h\left(x\right)=x^2$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$g'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\\h'\left(x\right)=2x$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$g\left(x\right)=x^2\\h\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$g'\left(x\right)={\textstyle2}\cdot{\textstyle x}\\h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)$

Setze zunächst $g'$ und $h'$ ein.

$=2\cdot(h{\left(x\right)})\cdot\cos\left(x\right)$

Nun setze $h(x)=\sin(x)$ ein.

$=2\cdot\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$

$f\left(x\right)=\sin\left(\frac1x\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

$g\left(x\right)=\sin\left(x\right)\\h\left(x\right)=\frac1x\\\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen

$g'\left(x\right)=\cos\left(x\right)\\h'\left(x\right)=-\frac1{x^2}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

$f(x)=\sin(\cos(\sin(x)))$

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit

$g(x)=\sin(x)\\h(x)=\cos(\sin(x))\\$

gerade $f$ ergibt.

$\Rightarrow f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)))=\sin(\cos(\sin(x)))$

Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h'$ zu bestimmen.

Nach der Kettenregel gilt dann

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$.

$g'(h(x))$ kannst du direkt bestimmen:

Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.

$g'(x)=\cos(x)$

$\Rightarrow g'(h(x)) = \cos(\cos(\sin(x)))$

Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$.

$u(x)=\cos(x)\\v(x)=\sin(x)\\$

$\Rightarrow h(x)= u \circ v = u(v(x))=\cos(\sin(x))\\$

Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$, um die Kettenregel

$h'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$

zu verwenden.

$u'(x)=-\sin(x)\\v'(x)=\cos(x)$

Berechne $h'$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}h'(x)&=&u'(v(x))\cdot v'(x)\\&=&-\sin(\sin(x))\cdot\cos(x)\end{array}$

Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen