Komposition von Funktionen

Seien f und g Funktionen. Mit Komposition oder Verkettung von Funktionen wird (fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x)) bezeichnet.

Eine weitere Formulierung ist "f nach g".

Beispiel:

Sei f(x)=x2f(x)=x^2 und g(x)=x+1g(x)=x+1.

Dann ist (fg)(x)=f(x+1)=(x+1)2(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2.

Weitere Beispiele

In diesem Video wird die Komposition bzw. die Verkettung von Funktionen anhand von 10 Beispielen erklärt.

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ. Das heißt für Funktionen f, g und h gilt:

Beweis:

Beispiel:

Sei f(x)=x3  f(x)=x^{3\;} und   g(x)=x+4  \;g(x)=x+4\; und   h(x)=x1\;h(x)=x-1 ,

dann ist:

Keine Kommutativität

Kompositionen von Funktionen sind im Allgemeinen nicht kommutativ.

Als Gegenbeispiel kann f(x)  =  x2\text{f(x)\;=\;x}^2 und  g(x)  =  x+1\;\mathrm g(\mathrm x)\;=\;\mathrm x+1 gewählt werden:

(fg)(x)=f(x+1)=(x+1)2=x2+2x+1(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1 aber

Offensichtlich sind (f  g)(x)=x2+2x+1(f\circ\;g)(x)=x^2+2x+1 und (gf)(x)=x2+1(g\circ f)(x)=x^2+1 verschieden, also ist die Komposition nicht kommutativ.

Ableitung einer Komposition von Funktionen: Kettenregel

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Integration einer Komposition von Funktionen: Substitutionsregel

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