Komposition von Funktionen

Weitere Beispiele

In diesem Video wird die Komposition bzw. die Verkettung von Funktionen anhand von 10 Beispielen erklärt.

Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ. Das heißt für Funktionen f, g und h gilt:

$(\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\circ \mathrm{h}=\mathrm{f}\circ (\mathrm{g}\circ \mathrm{h})(\backslash mathrm\; f\backslash circ\backslash mathrm\; g)\backslash circ\backslash mathrm\; h=\backslash mathrm\; f\backslash circ(\backslash mathrm\; g\backslash circ\backslash mathrm\; h)\backslash ;$

Beweis:

$\begin{array}{c}((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))\\ (f\circ (g\circ h))(x)=f(g\circ h)(x)=f(g(h(x)))\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}((f\backslash circ\; g)\backslash circ\; h)(x)=(f\backslash circ\; g)(h(x))=f(g(h(x)))\backslash \backslash (f\backslash circ(g\backslash circ\; h))(x)=f(g\backslash circ\; h)(x)=f(g(h(x)))\backslash end\{array\}$

Beispiel:

Sei $f(x)=x^{3}f(x)=x^\{3\backslash ;\}$ und $g(x)=x+4\backslash ;g(x)=x+4\backslash ;$ und $h(x)=x-1\backslash ;h(x)=x-1$ ,

dann ist: $(\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\circ \mathrm{h}=(\mathrm{f}(x+4))\circ (x-1)=(x+4{)}^3\circ (x-1)=((x-1)+4{)}^3=(x+3{)}^3(\backslash mathrm\; f\backslash circ\backslash mathrm\; g)\backslash circ\backslash mathrm\; h=(\backslash mathrm\; f(x+4))\backslash circ(x-1)=(x+4)^3\backslash circ(x-1)=((x-1)+4)^3=(x+3)^3\backslash ;$

$\mathrm{f}\circ (\mathrm{g}\circ \mathrm{h})=f\circ (g(x-1)=x^3\circ ((x+4)\circ (x-1))=x^3\circ ((x-1)+4)=x^3\circ (x+3)=(x+3{)}^3\backslash ;\backslash mathrm\; f\backslash circ(\backslash mathrm\; g\backslash circ\backslash mathrm\; h)=f\backslash circ(g(x-1)=x^3\backslash circ((x+4)\backslash circ(x-1))=x^3\backslash circ((x-1)+4)=x^3\backslash circ(x+3)=(x+3)^3\backslash ;$

Keine Kommutativität

Kompositionen von Funktionen sind im Allgemeinen nicht kommutativ.

Als Gegenbeispiel kann ${\text{f(x)}\text{=}\text{x}}^2\backslash text\{f(x)\backslash ;=\backslash ;x\}^2$ und$\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1\backslash ;\backslash mathrm\; g(\backslash mathrm\; x)\backslash ;=\backslash ;\backslash mathrm\; x+1$ gewählt werden:

$(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1(f\backslash circ\; g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1$ aber

$(g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+1(g\backslash circ\; f)(x)=g(x^2)=x^2+1$

Offensichtlich sind $(f\circ g)(x)=x^2+2x+1(f\backslash circ\backslash ;g)(x)=x^2+2x+1$ und $(g\circ f)(x)=x^2+1(g\backslash circ\; f)(x)=x^2+1$ verschieden, also ist die Komposition nicht kommutativ.

Ableiten und Integrieren von verketteten Funktionen

Die Verkettung von Funktionen beeinflusst auch das Änderungsverhalten, sodass die Ableitung mit der Kettenregel und die Integration durch die Substitution erfolgen muss.