Aufgaben zur Produktregel

Hier kannst du die Anwendung der Produktregeln üben. In diesen Aufgaben lernst du, wie du das Produkt zweier Funktionen ableiten kannst.

Bilde die Ableitung zu folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
$f(x)=x^2\cdot(x-1)$
Wende die Produktregel an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f'(x)&=2x\cdot(x-1)+x^2\cdot1 \\ &=2x^2-2x+x^2 \\ &=3x^2-2x\end{aligned}$
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\displaystyle f(x)=\left( x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot(x^3+3)

Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du die Produktregel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= 4x^2\cdot(-2x-2) \\f'(x) &= 8x\cdot(-2x-2)+4x^2\cdot(-2) \\&=(-16x^2)-16x-8x^2 \\&=(-24x^2)-16x\end{aligned}$
Wende die Produktregel an.
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Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Produktregel.

Hinweis: Bei der Eingabe in den Lösungsfeldern musst du Potenzen mit '^' schreiben (zum Beispiel x^2 und nicht x²), damit die Lösung als richtig erkannt wird.

$f\left(x\right)=x^2\cdot x$

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+7\right)$

3
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
1. $f(x)= x \cdot \cos(x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)}\end{aligned}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x)\end{aligned}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\&=4x^3+8+12x^3 \\&=16x^3+8\end{aligned}$
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\&=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\&=\frac32x^2+3x-2\end{aligned}$
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4
Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}$
  Wende die Produktregel an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}$
  Wende die Produktregel an.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}$
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3. $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
  $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$
  Wende die Produktregel an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}$
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Bilde die Ableitung folgender Funktionen mit der Produktregel.

$f(x)=(e^x-2)\cdot(x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x) &= (e^x-2)\cdot(x-1) \\f'(x) &= e^x\cdot(x-1)+(e^x-2)\cdot1 \\&= xe^x-e^x+e^x-2 \\&= xe^x-2\end{array}$
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$f\left(x\right)=\left(7x-1\right)^4\cdot x^{-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe zu lösen brauchst du die Produktregel und weitere Ableitungsregeln.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x) &= \ln(x) \cdot (1-x) \\f'(x) &= \frac1x \cdot (1-x)+\ln(x) \cdot (-1) \\&= \frac1x-1-\ln(x)\end{array}$
Wende die Produktregel an.
Vereinfachen.
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Bestimme die Ableitung:

$f(x)=x^2\cdot e^{-x}$

$g(x)=ln(-x^2+1)\cdot x^2$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot\left(x^3+3\right)$
	↓	Wende die Produktregel an.
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2x+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(x^3+3\right)+\left(x^2+\frac{1}{4}x\right)\cdot3x^2$
	$=$	$\displaystyle 2x^4+6x+\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}+3x^4+\frac{3}{4}x^3$
	$=$	$\displaystyle 5x^4+x^3+6x+\frac{3}{4}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot x$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot x+x^2\cdot1$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle 3x^2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+7\right)$
	↓	Wende die Produktregel an
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot\left(x^2+x+7\right)+\left(x-1\right)\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle x^2+x+7+2x^2+x-2x-1$
	$=$	$\displaystyle 3x^2+6$

Benutze die Produktregel
	↓
$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle g'(x)\cdot h(x)+g(x) \cdot h'(x)$
	↓	Einsetzen und Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 28\cdot(7x-1)^3\cdot x^{-2}-2(7x-1)^4\cdot x^{-3}$
	↓	Verwandle die negativen Potenzen in Brüche
	$=$	$\displaystyle \displaystyle 28\cdot(7x-1)^3\cdot \frac{1}{x^2}-2(7x-1)^4\cdot \frac{1}{x^3}$
	↓	Klammere $(7x-1)^3$ und $\frac{1}{x^2}$ aus
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{(7x-1)^3}{x^2}\left(28-\frac{2(7x-1)}{x}\right)$
	↓	Klammere noch eine $2$ aus und löse den Bruch auf
	$=$	$\displaystyle \displaystyle2\frac{(7x-1)^3}{x^2}\left(14-7+\frac{1}{x}\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \displaystyle2\frac{(7x-1)^3}{x^2}\left(7+\frac{1}{x}\right)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot e^{-x}$
	↓	Benutze die Produktregel und die Kettenregel.
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot e^{-x}\cdot\left(-1\right)$
	↓	Vereinfache soweit wie möglich.
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-x}-x^2\cdot e^{-x}$
	↓	Klammer $x\cdot e^{-x}$ aus.
	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-x}\left(2-x\right)$
	$=$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(-x^2+1\right)\cdot x^2$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für die ln-Funktion, die Kettenregel und die Produktregel.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-x^2+1}\cdot-2x\cdot x^2+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2x^3}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\cdot2x$
	↓	Klammer 2x aus.
	$=$	$\displaystyle 2x\left(\frac{-x^2}{-x^2+1}+\ln\left(-x^2+1\right)\right)$

Aufgaben zur Produktregel

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