Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
f(x)=x2â cosâĄ(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}f(x)â=âx2â cos(x)â
Wende die Produktregel an.
fâČ(x)=2xâ cosâĄ(x)+x2â (âsinâĄ(x))=2xâ cosâĄ(x)âx2â sinâĄ(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}fâČ(x)â==â2xâ cos(x)+x2â (âsin(x))2xâ cos(x)âx2â sin(x)â
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Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
f=sinâĄxx=sinâĄxâ 1x=sinâĄxâ xâ1\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}fâ===âxsinxâsinxâ x1âsinxâ xâ1â
fâČ(x)=cosâĄxâ xâ1+sinâĄxâ (â1)â xâ2=cosâĄxxâsinâĄxx2=1xâ (cosâĄxâsinâĄxx)=xâ cosâĄxâsinâĄxx2\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}fâČ(x)â====âcosxâ xâ1+sinxâ (â1)â xâ2xcosxââx2sinxâx1ââ (cosxâxsinxâ)x2xâ cosxâsinxââ
f(x)=sinâĄ(x)â cosâĄ(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)f(x)=sin(x)â cos(x)
fâČ(x)=cosâĄxâ cosâĄx+sinâĄxâ (âsinâĄx)=cosâĄ2xâsinâĄ2x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}fâČ(x)â==âcosxâ cosx+sinxâ (âsinx)cos2xâsin2xâ
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