Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
f(x)=x2⋅cos(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}f(x)=x2⋅cos(x)
Wende die Produktregel an.
f′(x)=2x⋅cos(x)+x2⋅(−sin(x))=2x⋅cos(x)−x2⋅sin(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}f′(x)==2x⋅cos(x)+x2⋅(−sin(x))2x⋅cos(x)−x2⋅sin(x)
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Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
f=sinxx=sinx⋅1x=sinx⋅x−1\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}f===xsinxsinx⋅x1sinx⋅x−1
f′(x)=cosx⋅x−1+sinx⋅(−1)⋅x−2=cosxx−sinxx2=1x⋅(cosx−sinxx)=x⋅cosx−sinxx2\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}f′(x)====cosx⋅x−1+sinx⋅(−1)⋅x−2xcosx−x2sinxx1⋅(cosx−xsinx)x2x⋅cosx−sinx
f(x)=sin(x)⋅cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)f(x)=sin(x)⋅cos(x)
f′(x)=cosx⋅cosx+sinx⋅(−sinx)=cos2x−sin2x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}f′(x)==cosx⋅cosx+sinx⋅(−sinx)cos2x−sin2x
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