Stammfunktion

Eine Stammfunktion $FF$ einer ursprünglichen, stetigen Funktion $ff$ ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion $ff$ ist. Es gilt also

Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion $ff$ alle Stammfunktionen $FF$. Es gilt also

Zu einer Stammfunktion $FF$ kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "$+C+C$" hinzufügen, wobei $CC$ für diese beliebige, konstante Zahl steht.

Beispiel

Hat man die Funktion $f(x)=x^2+2x-1f(x)=x^2+2x-1$ gegeben, so lautet die allgemeine Stammfunktion zu $f(x)f(x)$:

Somit ist z.B. sowohl die Funktion

$F_1(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-x+1F\_1(x)=\backslash dfrac13x^3+x^2-x+1$ , als auch

$F_2(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-x-2F\_2(x)=\backslash dfrac13x^3+x^2-x-2$

eine Stammfunktion von $f(x)f(x)$. Das lässt sich nachprüfen, indem man beide Stammfunktionen ableitet:

$F{{}_1}^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+2x-1+0=x^2+x-1=f(x)F\{\_1\}\text{'}(x)=x^2+2x-1+0=x^2+x-1=f(x)$

$F{{}_2}^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+2x-1-0=x^2+x-1=f(x)F\{\_2\}\text{'}(x)=x^2+2x-1-0=x^2+x-1=f(x)$