Stammfunktion

Eine Stammfunktion $F$ einer ursprünglichen, stetigen Funktion $f$ ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion $f$ ist. Es gilt also

Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion $f$ alle Stammfunktionen $F$. Es gilt also

Zu einer Stammfunktion $F$ kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "$+C$" hinzufügen, wobei $C$ für diese beliebige, konstante Zahl steht.

Beispiel

Hat man die Funktion $f(x)=x^2+2x-1$ gegeben, so lautet die allgemeine Stammfunktion zu $f(x)$:

Somit ist z.B. sowohl die Funktion

$F_1(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-x+1$ , als auch

$F_2(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2-x-2$

eine Stammfunktion von $f(x)$. Das lässt sich nachprüfen, indem man beide Stammfunktionen ableitet:

$F{{}_1}^{\prime }(x)=x^2+2x-1+0=x^2+x-1=f(x)$

$F{{}_2}^{\prime }(x)=x^2+2x-1-0=x^2+x-1=f(x)$