Die Kurvendiskussion mit Parameter funktioniert genau wie die normale Kurvendiskussion, nur dass man hier mit einer Funktionenschar arbeitet, die einen Parameter beinhaltet.
Man kann dennoch alle wichtigen Bestandteile einer Kurvendiskussion bestimmen:
Bestandteile der Kurvendiskussion Vorgehensweise am Beispiel (ausgewählte Teilaufgaben) Aufgabenstellung: Diskutiere die Funktion f k ( x ) = x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k} f k ( x ) = x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k
Beachte: In diesem Beispiel sind vor allem die Fallunterscheidungen relevant. Man sollte verstehen, wann und warum man sie braucht.
Definitionsbereich Einen Artikel zu diesem Thema findest du hier .
Definitionslücken bestimmen: Nenner gleich 0 setzen
x − k = 0 ⇔ x = k \displaystyle x-k=0\;\Leftrightarrow x=k x − k = 0 ⇔ x = k ⇒ D f k = R ∖ { k } \Rightarrow D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\right\} ⇒ D f k = R ∖ { k }
Beachte: Ist die Definitionslücke hebbar ?
Die Definitionslücke ist hebbar, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist. Man setzt also k in den Zähler ein.
k 2 + ( k + 1 ) k + k = 0 ⇔ 2 k 2 + 2 k = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}k^2+\left(k+1\right)k+k=0\\\Leftrightarrow2k^2+2k=0\\\Leftrightarrow k=0\;\text{oder}\;k=-1\end{array} k 2 + ( k + 1 ) k + k = 0 ⇔ 2 k 2 + 2 k = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 Hebbar für k = − 1 k = -1 k = − 1 k = 0 k = 0 k = 0
Nullstellen Für allgemeines Wissen zu diesem Thema kannst du den Artikel Nullstellen besuchen.
Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen
x 2 + ( k + 1 ) x + k = 0 x^2+\left(k+1\right)x+k=0 x 2 + ( k + 1 ) x + k = 0
Diskriminante bestimmen und Mitternachtsformel anwenden.
D = ( k + 1 ) 2 − 4 k = ( k − 1 ) 2 D ≥ 0 ∀ k D = 0 ⇔ k = 1 x 1 ; 2 = − k − 1 ± ( k − 1 ) 2 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=\left(k+1\right)^2-4k=\left(k-1\right)^2\\D\geq 0 \ \forall k\\D=0\Leftrightarrow k=1\\x_{1;2}=\frac{-k-1\pm\sqrt{\left(k-1\right)^2}}2\end{array} D = ( k + 1 ) 2 − 4 k = ( k − 1 ) 2 D ≥ 0 ∀ k D = 0 ⇔ k = 1 x 1 ; 2 = 2 − k − 1 ± ( k − 1 ) 2
x 1 = − k − 1 + ( 1 − k ) 2 = − k x_1=\frac{-k-1+(1-k)}{2}=-k x 1 = 2 − k − 1 + ( 1 − k ) = − k \\ x 2 = − k − 1 − ( 1 − k ) 2 = − 1 x_2=\frac{−k−1−(1−k)}{2}=−1 x 2 = 2 − k − 1 − ( 1 − k ) = − 1
x 1 = − k − 1 + k − 1 2 = − 1 x_1=\frac{-k-1+k-1}{2}=-1 x 1 = 2 − k − 1 + k − 1 = − 1 \\ x 2 = − k − 1 − k + 1 2 = − k x_2=\frac{-k-1-k+1}{2}=-k x 2 = 2 − k − 1 − k + 1 = − k
x = − k − 1 2 = − 1 x=\frac{-k-1}{2}=-1 x = 2 − k − 1 = − 1
Grenzwerte Was genau Grenzwerte sind und wie man mit ihnen rechnet, findest du im Artikel Grenzwert .
Grenzwerte im Unendlichen Grenzwert gegen ± ∞ \pm\infty ± ∞
lim x → ± ∞ f k ( x ) = lim x → ± ∞ x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k = gek u ¨ rzt mit x lim x → ± ∞ x ⏞ → ± ∞ + k + 1 + k x ⏞ → 0 1 − k x ⏟ → 1 = ± ∞ \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}\overset{\text{gekürzt mit }x}{=}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\overbrace x^{\rightarrow\pm\infty}+k+1+\overbrace{\displaystyle\frac kx}^{\rightarrow0}}{\underbrace{1-\displaystyle\frac kx}_{\rightarrow1}}=\pm\infty\end{array} x → ± ∞ lim f k ( x ) = x → ± ∞ lim x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k = gek u ¨ rzt mit x x → ± ∞ lim → 1 1 − x k x → ± ∞ + k + 1 + x k → 0 = ± ∞
Grenzwert an der Definitionslücke Fall 1: Grenzwert gegen k k k k ∈ R ∖ { − 1 ; 0 } k\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;0\right\} k ∈ R ∖ { − 1 ; 0 } \\
lim x → k ± 0 f k ( x ) = lim x → k ± 0 x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k ⏟ → ± 0 = ± ∞ \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{\underbrace{x-k}_{\rightarrow \pm0}}=\pm\infty x → k ± 0 lim f k ( x ) = x → k ± 0 lim → ± 0 x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k = ± ∞
Fall 2: k = − 1 k=-1 k = − 1 \\
lim x → − 1 f − 1 ( x ) = lim x → − 1 x 2 + ( − 1 + 1 ) x + ( − 1 ) x + 1 = lim x → − 1 x 2 − 1 x + 1 = lim x → − 1 x − 1 = − 2 \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow-1}f_{-1}\left(x\right)\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2+\left(-1+1\right)x+(-1)}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}x-1=-2\end{array} x → − 1 lim f − 1 ( x ) = x → − 1 lim x + 1 x 2 + ( − 1 + 1 ) x + ( − 1 ) = x → − 1 lim x + 1 x 2 − 1 = x → − 1 lim x − 1 = − 2
Fall 3: k = 0 k=0 k = 0 \\
lim x → 0 f 0 ( x ) = lim x → 0 x 2 + x x = lim x → 0 x + 1 = 1 \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow0}f_0\left(x\right)\\=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^2+x}x\\=\lim\limits_{x\rightarrow0}x+1=1\end{array} x → 0 lim f 0 ( x ) = x → 0 lim x x 2 + x = x → 0 lim x + 1 = 1
Extrema Wenn du nicht mehr genau weißt, was ein Extremum ist, besuche doch den Artikel Extrema berechnen .
Leite f k ( x ) = x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k \displaystyle f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k} f k ( x ) = x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k
f k ′ ( x ) = ( x − k ) ( 2 x + k + 1 ) − ( x 2 + ( k + 1 ) x + k ) ( x − k ) 2 = x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k ( x − k ) 2 f_k'(x)=\frac {(x-k)(2x+k+1)-(x^2+ (k+1)x+k)}{(x-k)^2}=\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{(x-k)^2} f k ′ ( x ) = ( x − k ) 2 ( x − k ) ( 2 x + k + 1 ) − ( x 2 + ( k + 1 ) x + k ) = ( x − k ) 2 x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k
Setze die Ableitung gleich 0.
f k ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k ( x − k ) 2 = 0 ⇔ x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k = 0 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}&f_k'\left(x\right)&=&0\\\Leftrightarrow&\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{\left(x-k\right)^2}&=&0\\\Leftrightarrow&\textstyle x^2-2kx-k^2-2k&=&0\end{array} ⇔ ⇔ f k ′ ( x ) ( x − k ) 2 x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k = = = 0 0 0
Bestimme die Diskriminante.
D = 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) D=4k^2+4(k^2+2k) D = 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) \\ D = 0 ⇔ 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = 0 ⇔ 8 k ( k + 1 ) = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 D=0\\\Leftrightarrow 4k^2+4(k^2+2k)=0\\\Leftrightarrow 8k(k+1)=0\\\Leftrightarrow k=0 \text{ oder } k=-1 D = 0 ⇔ 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = 0 ⇔ 8 k ( k + 1 ) = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1
Löse mit der Mitternachtsformel. \\ k = − 1 k=-1 k = − 1 k = 0 k=0 k = 0
x = 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) 2 = k \displaystyle x=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}2=\textstyle k x = 2 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = k
Beachte: In diesem Fall gibt es keine Extrema, da k ∉ D f k k\not\in D_{f_k} k ∈ D f k
Fall 2: k < − 1 k<-1 k < − 1 k > 0 k>0 k > 0
x 1 ; 2 = 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) 2 = k ± 8 k ( k + 1 ) x_{1;2}=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}{2}=k\pm\sqrt{8k\left(k+1\right)} x 1 ; 2 = 2 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = k ± 8 k ( k + 1 )
Fall 3: − 1 < k < 0 -1<k<0 − 1 < k < 0
Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
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