Kurvendiskussion mit Parameter

Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen

$x^2+(k+1)x+k=0$

Diskriminante bestimmen und Mitternachtsformel anwenden.

$\begin{array}{l}D={(k+1)}^2-4k={(k-1)}^2\\ D\ge 0\forall k\\ D=0\iff k=1\\ x_{1;2}=\frac{-k-1\pm \sqrt{{(k-1)}^2}}{2}\end{array}$

Fall 1: $k<1$

$x_1=\frac{-k-1+(1-k)}{2}=-k$ $$ $\text{}{x}_2=\frac{-k-1-(1-k)}{2}=-1$

Fall 2: $k>1$

$x_1=\frac{-k-1+k-1}{2}=-1$ $$ $x_2=\frac{-k-1-k+1}{2}=-k$

Fall 1: Grenzwert gegen $k$ für alle $k\in ℝ\setminus \{-1;0\}$ $$ Nicht hebbare Definitionslücken.

$${\displaystyle \underset{x\to k\pm 0}{\lim }{f}_k\left(x\right)=\underset{x\to k\pm 0}{\lim }\frac{x^2+(k+1)x+k}{\underset{\to \pm 0}{\underbrace{x-k}}}=\pm \infty }$$

Fall 2: $k=-1$ $$ Hebbare Definitionslücke.

$${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{x\to -1}{\lim }{f}_{-1}\left(x\right)\\ =\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+(-1+1)x+(-1)}{x+1}\\ =\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-1}{x+1}\\ =\underset{x\to -1}{\lim }x-1=-2\end{array}}$$

Leite $${\displaystyle f_k\left(x\right)=\frac{x^2+(k+1)x+k}{x-k}}$$ ab.

$f_k^{\prime }(x)=\frac{(x-k)(2x+k+1)-(x^2+(k+1)x+k)}{(x-k{)}^2}=\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{(x-k{)}^2}$

Setze die Ableitung gleich 0.

$\begin{array}{lrcl}& f_k^{\prime }\left(x\right)& =& 0\\ \iff & \frac{x^2-2kx-k^2-2k}{{(x-k)}^2}& =& 0\\ \iff & x^2-2kx-k^2-2k& =& 0\end{array}$

Bestimme die Diskriminante.

$\text{}D=4k^2+4(k^2+2k)$ $$ $\begin{array}{l}D=0\\ \iff 4k^2+4(k^2+2k)=0\\ \iff 8k(k+1)=0\\ \iff k=0\text{ oder }k=-1\end{array}$

Löse mit der Mitternachtsformel. $$ Fall 1: $k=-1$ oder $k=0$

$${\displaystyle x=\frac{2k\pm \sqrt{4k^2+4(k^2+2k)}}{2}=k}$$

Beachte: In diesem Fall gibt es keine Extrema, da $k\in ̸D_{f_k}$.

Fall 2: $k<-1$ oder $k>0$

$x_{1;2}=\frac{2k\pm \sqrt{4k^2+4(k^2+2k)}}{2}=k\pm \sqrt{8k(k+1)}$