Funktionenschar

Bei einer Funktionenschar gibt es neben der Variable xx auch noch einen Parameter (häufig aa oder kk), welchen man frei auf eine Zahl festlegen kann. Für jede Besetzung des Parameters bekommt man einen anderen Funktionsterm und somit auch einen anderen Funktionsgraph.

Repräsentanten der Funktionenschar

Möchte man Repräsentanten der Schar zu bestimmten Parameterwerten zeichnen oder damit rechnen, so setzt man für den Parameter Werte ein und erhält eine Funktion der Funktionenschar.

Beispiel

Betrachte die Funktionen fk(x)=kxf_k(x)=k\cdot x.

Für k=2k=2 ist f2(x)=2xf_2(x)=2\cdot x. Der Graph von f2(x)f_2(x) ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 22.

Setze weitere Werte für k ein, um weitere Funktionen zu bestimmen. Die entstandenen Funktionen sind Teil der Funktionenschar fk(x)f_k(x).

Die Funktionen lassen sich dann in einem Koordinatensystem zeichnen.

Weitere Beispiele

fk(x)=12x3kx2k2f_k(x)= \frac 1 2 x^3-kx^2-k^2 liefert zum Beispiel

  • für k=3k=3 die Funktion f3(x)=12x33x29f_3(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2-9

  • für k=2k=-2 die Funktion f2(x)=12x3+2x24f_{-2}(x)=\frac 1 2 x^3+2x^2-4.

Die entstandenen Funktionen kannst du wieder wie gewohnt untersuchen und zeichnen.

In Abhängigkeit vom Parameter

Häufig untersuchst du die Funktionenschar allerdings in Abhängigkeit von kk. Doch was bedeutet das eigentlich?

Nun das heißt, dass das Ergebnis davon abhängt, welcher Wert des Parameters eingesetzt wird. Wie das konkret ausschauen kann, siehtst du gleich in dem Beispiel weiter unten. Ein schöne Übersicht über Sachen, die man in Abhängigkeit von einem Parameter berechnen kann, findest du auch im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.

Beispiel: Nullstellenberechnung mit Parameter

Willst du die Nullstellen der Funktion fa(x)=x2af_a(x)=x^2-a berechnen, so gehst du genau so vor, wie du es auch ohne Parameter tun würdest:

x2a\displaystyle x^2-a==0\displaystyle 0+a\displaystyle +a

Löse nach xx auf.

x2\displaystyle x^2==a\displaystyle a\displaystyle \sqrt{ }

Ziehe die Wurzel.

x\displaystyle x==±a\displaystyle \pm\sqrt{a}

Die Nullstellen liegen bei x1=ax_1=\sqrt a und x2=ax_2=-\sqrt a.

Für a=4a=4 also zum Beispiel bei x1=2x_1=2 und x2=2x_2=-2.

Graphische Beispiele

In diesen Beispielen siehst du, wie Funktionenscharen graphisch aussehen können. Beachte, dass es unendlich viele Repräsentanten einer Funktionenschar, also unendlich viele Funktionen gibt und man nie alle zeichnen kann.

Beispiel 1

k verändert hier den y-Achsenabschnitt, die Funkionen der Schar sind also nach oben oder unten verschoben.

abgebildet sind hier f1,f0,f1,f2,f3f_{-1}, f_0, f_1, f_2, f_3.

Beispiel 2

Gehen alle Funktionen einer Schar durch einen Punkt, so ist dieser ein gemeinsamer Punkt der Funktionenschar .

abgebildet sind hier f3,f1,f1,f2,f4f_{-3},f_{-1}, f_1, f_2, f_4.

Veranschaulichung durch Applet

Verändert man das k an dem Schieberegler, dann verändert sich die schwarze Kurve entsprechend dem Paramter k.

Weiteres Beispiel als Ausblick

Eine solche Funktionenschar wird höchstwahrscheinlich nicht Gegenstand in der Schule sein, hat aber ästhetischen Wert.

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