Bestandteile der Kurvendiskussion Vorgehensweise am Beispiel (ausgewählte Teilaufgaben) Aufgabenstellung: Diskutiere die Funktion f k ( x ) = x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k} f k ( x ) = x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k
Beachte: In diesem Beispiel sind vor allem die Fallunterscheidungen relevant. Man sollte verstehen, wann und warum man sie braucht.
Definitionsbereich Einen Artikel zu diesem Thema findest du hier .
Definitionslücken bestimmen: Nenner gleich 0 setzen
x − k = 0 ⇔ x = k \displaystyle x-k=0\;\Leftrightarrow x=k x − k = 0 ⇔ x = k ⇒ D f k = R ∖ { k } \Rightarrow D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\right\} ⇒ D f k = R ∖ { k }
Beachte: Ist die Definitionslücke hebbar ?
Die Definitionslücke ist hebbar, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist. Man setzt also k in den Zähler ein.
k 2 + ( k + 1 ) k + k = 0 ⇔ 2 k 2 + 2 k = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}k^2+\left(k+1\right)k+k=0\\\Leftrightarrow2k^2+2k=0\\\Leftrightarrow k=0\;\text{oder}\;k=-1\end{array} k 2 + ( k + 1 ) k + k = 0 ⇔ 2 k 2 + 2 k = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 Hebbar für k = − 1 k = -1 k = − 1 k = 0 k = 0 k = 0
Nullstellen Für allgemeines Wissen zu diesem Thema kannst du den Artikel Nullstellen besuchen.
Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen
x 2 + ( k + 1 ) x + k = 0 x^2+\left(k+1\right)x+k=0 x 2 + ( k + 1 ) x + k = 0
Diskriminante bestimmen und Mitternachtsformel anwenden.
D = ( k + 1 ) 2 − 4 k = ( k − 1 ) 2 D ≥ 0 ∀ k D = 0 ⇔ k = 1 x 1 ; 2 = − k − 1 ± ( k − 1 ) 2 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}D=\left(k+1\right)^2-4k=\left(k-1\right)^2\\D\geq 0 \ \forall k\\D=0\Leftrightarrow k=1\\x_{1;2}=\frac{-k-1\pm\sqrt{\left(k-1\right)^2}}2\end{array} D = ( k + 1 ) 2 − 4 k = ( k − 1 ) 2 D ≥ 0 ∀ k D = 0 ⇔ k = 1 x 1 ; 2 = 2 − k − 1 ± ( k − 1 ) 2
x 1 = − k − 1 + ( 1 − k ) 2 = − k x_1=\frac{-k-1+(1-k)}{2}=-k x 1 = 2 − k − 1 + ( 1 − k ) = − k \\ x 2 = − k − 1 − ( 1 − k ) 2 = − 1 x_2=\frac{−k−1−(1−k)}{2}=−1 x 2 = 2 − k − 1 − ( 1 − k ) = − 1
x 1 = − k − 1 + k − 1 2 = − 1 x_1=\frac{-k-1+k-1}{2}=-1 x 1 = 2 − k − 1 + k − 1 = − 1 \\ x 2 = − k − 1 − k + 1 2 = − k x_2=\frac{-k-1-k+1}{2}=-k x 2 = 2 − k − 1 − k + 1 = − k
x = − k − 1 2 = − 1 x=\frac{-k-1}{2}=-1 x = 2 − k − 1 = − 1
Grenzwerte Was genau Grenzwerte sind und wie man mit ihnen rechnet, findest du im Artikel Grenzwert .
Grenzwerte im Unendlichen Grenzwert gegen ± ∞ \pm\infty ± ∞
lim x → ± ∞ f k ( x ) = lim x → ± ∞ x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k = gek u ¨ rzt mit x lim x → ± ∞ x ⏞ → ± ∞ + k + 1 + k x ⏞ → 0 1 − k x ⏟ → 1 = ± ∞ \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}\overset{\text{gekürzt mit }x}{=}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\overbrace x^{\rightarrow\pm\infty}+k+1+\overbrace{\displaystyle\frac kx}^{\rightarrow0}}{\underbrace{1-\displaystyle\frac kx}_{\rightarrow1}}=\pm\infty\end{array} x → ± ∞ lim f k ( x ) = x → ± ∞ lim x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k = gek u ¨ rzt mit x x → ± ∞ lim → 1 1 − x k x → ± ∞ + k + 1 + x k → 0 = ± ∞
Grenzwert an der Definitionslücke Fall 1: Grenzwert gegen k k k k ∈ R ∖ { − 1 ; 0 } k\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;0\right\} k ∈ R ∖ { − 1 ; 0 } \\
lim x → k ± 0 f k ( x ) = lim x → k ± 0 x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k ⏟ → ± 0 = ± ∞ \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{\underbrace{x-k}_{\rightarrow \pm0}}=\pm\infty x → k ± 0 lim f k ( x ) = x → k ± 0 lim → ± 0 x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k = ± ∞
Fall 2: k = − 1 k=-1 k = − 1 \\
lim x → − 1 f − 1 ( x ) = lim x → − 1 x 2 + ( − 1 + 1 ) x + ( − 1 ) x + 1 = lim x → − 1 x 2 − 1 x + 1 = lim x → − 1 x − 1 = − 2 \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow-1}f_{-1}\left(x\right)\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2+\left(-1+1\right)x+(-1)}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}\\=\lim\limits_{x\rightarrow-1}x-1=-2\end{array} x → − 1 lim f − 1 ( x ) = x → − 1 lim x + 1 x 2 + ( − 1 + 1 ) x + ( − 1 ) = x → − 1 lim x + 1 x 2 − 1 = x → − 1 lim x − 1 = − 2
Fall 3: k = 0 k=0 k = 0 \\
lim x → 0 f 0 ( x ) = lim x → 0 x 2 + x x = lim x → 0 x + 1 = 1 \def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow0}f_0\left(x\right)\\=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^2+x}x\\=\lim\limits_{x\rightarrow0}x+1=1\end{array} x → 0 lim f 0 ( x ) = x → 0 lim x x 2 + x = x → 0 lim x + 1 = 1
Extrema Wenn du nicht mehr genau weißt, was ein Extremum ist, besuche doch den Artikel Extrema berechnen .
Leite f k ( x ) = x 2 + ( k + 1 ) x + k x − k \displaystyle f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k} f k ( x ) = x − k x 2 + ( k + 1 ) x + k
f k ′ ( x ) = ( x − k ) ( 2 x + k + 1 ) − ( x 2 + ( k + 1 ) x + k ) ( x − k ) 2 = x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k ( x − k ) 2 f_k'(x)=\frac {(x-k)(2x+k+1)-(x^2+ (k+1)x+k)}{(x-k)^2}=\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{(x-k)^2} f k ′ ( x ) = ( x − k ) 2 ( x − k ) ( 2 x + k + 1 ) − ( x 2 + ( k + 1 ) x + k ) = ( x − k ) 2 x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k
Setze die Ableitung gleich 0.
f k ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k ( x − k ) 2 = 0 ⇔ x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k = 0 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl}&f_k'\left(x\right)&=&0\\\Leftrightarrow&\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{\left(x-k\right)^2}&=&0\\\Leftrightarrow&\textstyle x^2-2kx-k^2-2k&=&0\end{array} ⇔ ⇔ f k ′ ( x ) ( x − k ) 2 x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k x 2 − 2 k x − k 2 − 2 k = = = 0 0 0
Bestimme die Diskriminante.
D = 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) D=4k^2+4(k^2+2k) D = 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) \\ D = 0 ⇔ 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = 0 ⇔ 8 k ( k + 1 ) = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1 D=0\\\Leftrightarrow 4k^2+4(k^2+2k)=0\\\Leftrightarrow 8k(k+1)=0\\\Leftrightarrow k=0 \text{ oder } k=-1 D = 0 ⇔ 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = 0 ⇔ 8 k ( k + 1 ) = 0 ⇔ k = 0 oder k = − 1
Löse mit der Mitternachtsformel. \\ k = − 1 k=-1 k = − 1 k = 0 k=0 k = 0
x = 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) 2 = k \displaystyle x=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}2=\textstyle k x = 2 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = k
Beachte: In diesem Fall gibt es keine Extrema, da k ∉ D f k k\not\in D_{f_k} k ∈ D f k
Fall 2: k < − 1 k<-1 k < − 1 k > 0 k>0 k > 0
x 1 ; 2 = 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) 2 = k ± 8 k ( k + 1 ) x_{1;2}=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}{2}=k\pm\sqrt{8k\left(k+1\right)} x 1 ; 2 = 2 2 k ± 4 k 2 + 4 ( k 2 + 2 k ) = k ± 8 k ( k + 1 )
Fall 3: − 1 < k < 0 -1<k<0 − 1 < k < 0
Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
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