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Monotonieverhalten berechnen

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion.

Man bestimmt das Monotonieverhalten (bzw. die Monotonieintervalle) einer differenzierbaren Funktion f\sf f über ihre erste Ableitung:  

  • Wenn f(x)0\sf f^\prime(x)\geq 0 für alle x\sf x-Werte, ist die Funktion monoton steigend

  • Wenn f(x)0\sf f^\prime(x)\leq 0 für alle x\sf x-Werte, ist die Funktion monoton fallend.

Berechnung des Monotonieverhaltens

Um herauszufinden in welchen Bereichen der Graph monoton steigend oder monoton fallend ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

Mit einer Monotonietabelle

Hier betrachtet man das Vorzeichen der 1. Ableitung um die Extrempunkte herum und schließt so auf das Monotonieverhalten.

  • Vorteil: Man braucht nicht die 2. Ableitung.

  • Nachteil: Man muss die Polstellen berücksichtigen. (Eventuell braucht man die 1. Ableitung in einer faktorisierten Darstellung. Vergleiche dazu Linearfaktorzerlegung.)

Mit der 2. Ableitung

Hier findet man zunächst heraus, ob Hochpunkte oder Tiefpunkte vorliegen und schließt dann auf das Monotonieverhalten.

  • Vorteil: Man benötigt die 1. Ableitung nicht in einer faktorisierten Darstellung.

  • Nachteil: Man benötigt die 2. Ableitung. Diese kann mitunter sehr kompliziert werden. Bei manchen Funktionen benötigt man sogar die 3. Ableitung. Manchmal ermöglichen die Ableitungen auch gar keine Aussagen.

Beispiel

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

Mit einer Monotonietabelle

Allgemein

Gegeben ist eine Funktion f(x)\sf f\left(x\right)

Beispiel

Bestimme die 1. Ableitung f(x)\sf f^\prime\left(x\right)

Bestimme die Nullstellen von f(x)\sf f^\prime\left(x\right) (also die Extrema von f(x)\sf f\left(x\right)) x1,  x2,  x3,  usw.\sf x_1,\;x_2,\;x_3,\;usw. (Die Anzahl der Extrema hängt natürlich von der Funktion f(x)\sf f\left(x\right) ab.)

Mit dem Satz von Vieta oder der Mitternachtsformel erhält man die Extrema bei x1=2    und    x2=3\sf x_1=2\;\;und\;\;x_2=3

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle:

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle:

  • Die waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).

  • Nun betrachtet man die Intervalle zwischen den angetragenen Nullstellen.

  • Man setzt irgend einen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die 1. Ableitung ein und notiert sich das Vorzeichen in die zweite Zeile.

  • Für das 1. Intervall ];2[\sf \rbrack-\infty;2\lbrack wähle z.B. den Wert

  • Für das 2. Intervall ]2;3[\sf \rbrack2;3\lbrack wähle z.B. den Wert

  • Für das 3. Intervall ]3;[\sf \rbrack3;\infty\lbrack wähle z.B. den Wert x=5f(5)=2525+6=6>0\sf x=5\Rightarrow f^\prime\left(5\right)=25-25+6=6\gt0

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

Faktorisiere die 1. Ableitung: f(x)=(xx1)(xx2)(xx3)\sf f^\prime\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\cdot(x-x_2)\cdot\left(x-x_3\right)\cdot\ldots

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

  • In der ersten Spalte stehen die einzelnen Faktoren

  • Die erste waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).

  • Nun schaut man Zeile für Zeile welches Vorzeichen die einzelnen Faktoren vor bzw. nach den angetragenen Nullstellen (und evtl. auch Polstellen) haben. Dort wo ein Faktor 0 wird trägt man die Null auf den senkrechten Strich ein.

  • In der letzten Zeile betrachtet man das Vorzeichen des Gesamtterms. Das Vorzeichen ergibt sich einfach aus den in der selben Spalte darüber liegenden Vorzeichen. Es gelten die bekannten Regeln: "++=+"\sf "+\cdot+=+"; "+="\sf "+\cdot-=-"; "=+"\sf "-\cdot-=+"

  • 1) Zeile: Betrachte Werte für x die kleiner als 2 sind. Dann ist das Vorzeichen des Faktors (x-2) ein Minus. Betrachtet man Werte zwischen 2 und 3 wird der Faktor (x-2) größer 0. Genauso für x-Werte die größer als 3 sind.

  • 2) Zeile: Gleiches Spiel in dieser Zeile nur das man den Faktor (x-3) betrachtet. Für Werte kleiner als 2 wird dieser Faktor natürlich negativ, genauso für Werte zwischen zwei und 3. Alle x-Werte die größer als 3 sind lassen den Faktor positiv werden.

  • Die Vorzeichen in der letzten Zeile ergeben sich aus der Multiplikation der Vorzeichen die in einer Spalte darüber liegen.

Egal welche Variante der Vorzeichentabelle man verwendet, kann man nun die Monotonie des Graphen ablesen: Ist das Vorzeichen in der letzten Zeile ein +\sf + so ist der Graph in diesem Bereich (inklusive die Ränder, außer die Ränder sind nicht im Definitionsbereich enthalten! Vergleiche hierzu: Monotonie) streng monoton steigend. Ist das Vorzeichen ein \sf - so ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend:

f(x)>0  \sf f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow streng monoton steigend

f(x)<0  \sf f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow streng monoton fallend

Achtung: Wenn die Funktion eine oder mehrere Polstellen hat, müssen diese in der Vorzeichentabelle mit berücksichtigt werden. Man zeichnet dann einfach eine zusätzliche senkrechte Linie ein, die dann die Polstelle repräsentiert. Die Intervalle die man dann betrachtet werden somit von den Polstellen "zerstückelt".

];2[:f(x)>0  Gf\sf ]-\infty;2[:f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f ist streng monoton steigend im Intervall ];2]\sf ]-\infty;2]

]2;3[:f(x)<0  Gf\sf ]2;3[:f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow G_f ist streng monoton fallend im Intervall [2;3]\sf [2;3]

]3;[:f(x)>0  Gf\sf ]3;\infty[:f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f ist streng monoton steigend im Intervall [3;[\sf [3;\infty[

Achtung: Um die maximalen Intervalle anzugeben, in denen der Graph der Funktion streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt, müssen die Ränder (also 2 und 3) mit eingeschlossen werden!

Auch wenn die Funktion an diesen Stellen die Steigung 0 hat.

Mit der 2. Ableitung   

Allgemein

Beispiel

Gegeben ist eine Funktion f(x)\sf f\left(x\right)

Bestimme die 1. Ableitung f(x)\sf f^\prime\left(x\right)

Bestimme die Nullstellen von f(x)\sf f^\prime\left(x\right) (also die Extrema) x1,  x2,  x3,  usw.\sf x_1,\;x_2,\;x_3,\;\text{\sf usw.} (Die Anzahl der Nullstellen hängt natürlich von der Funktion f(x)\sf f\left(x\right) ab.)

Mit dem Satz von Vieta oder der Mitternachtsformel erhält man die Extrema bei x1=2    und    x2=3\sf x_1=2\;\;und\;\;x_2=3.

Bestimme die 2. Ableitung f(x)\sf f^{\prime\prime}\left(x\right)

Setze die Nullstellen der 1. Ableitung in die zweite Ableitung ein.

Ist:

f(xi)>0  \sf f^{\prime\prime}\left(x_i\right)\gt 0\;\rightarrow Tiefpunkt

f(xi)<0  \sf f^{\prime\prime}\left(x_i\right)\lt 0\;\rightarrow Hochpunkt

Bestimme die 3. Ableitung f(x)\sf f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)

Setze die Nullstelle auch hier ein:

f(xi)=0        \sf f^{\prime\prime\prime}(x_i)=0\;\;\rightarrow\;\; Keine Aussage möglich.

Terassenpunkt \sf \rightarrow kein Monotoniewechsel

f(2)=225=1<0  \sf f^{\prime\prime}\left(2\right)=2\cdot2-5=-1\lt 0 \;\rightarrow Hochpunkt

f(3)=235=1>0  \sf f^{\prime\prime}\left(3\right)=2\cdot3-5=1\gt 0\;\rightarrow Tiefpunkt

Wenn man weiß, ob ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt vorliegt, kennt man auch die Monotonie des Graphen vor bzw. nach diesen Stellen:

Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend

Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon fallend

Terrassenpunkt: links und rechts davon gleiche Monotonie

Hochpunkt bei x=2\sf x=2 und Tiefpunkt bei x=3\sf x=3

];2]\sf ]-\infty;2] streng monoton steigend

[2;3]\sf [2;3] streng monoton fallend

[3;[\sf [3;\infty[ streng monoton steigend


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