Tangente an Graph

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$. Berechne die Tangente an der Stelle $x=1$.

Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.

$g(x)=mx+b$ $\\$ $m$: Steigung $\\$ $b$: y-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung

$f'(x)=2x$

Setze den x-Wert in die Ableitung ein, um die Steigung zu erhalten.

$f'(1)=2⋅1=2$

Setze die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.

$g(x)=2x+b$

Berechne die y-Koordinate, die zur angegebenen x-Koordinate gehört. Setze dazu den x-Wert in die normale Funktion ein.

$f(1)=1^2=1$

Setze die Koordinaten des Berührpunktes in die Geradengleichung ein und löse nach b auf.

$1=2\cdot 1 + b$ $\\$ $b=-1$

$f(x_0)$ berechnen

$f(2)=-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=-3$

$f'(x)$ bestimmen

$f'(x)=-4x+3$

$f'(x_0)$ berechnen

$f'(2)=-4\cdot 2+3=-5$

$f(x_0),f'(x_0),x_0$ in Formel einsetzen

$g(x)=-5(x-2)+(-3)$

Schreibe zunächst die Formel auf: $\\$ $g(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$

Schreibe den allgemeinen Funktionsterm einer Gerade auf: $\\$ $g(x)=mx+b$

Bestimme die 1. Ableitung von $f(x)$: $\\$ $f'(x)=-4x$

Bestimme die 1. Ableitung von $f(x)$: $\\$ $f'(x)=-4x$

Berechne $f'(x_0)$: $\\$ $f'(2)=-4\cdot 2=-8$

Berechne $m$, also $f'(x_0)$: $\\$ $f'(2)=-4\cdot 2=-8$

Setze die Steigung $m$ in die Gleichung ein: $\\$ $g(x)=-8x+b$

Bestimme $f(x_0)$: $\\$ $f(2)=-2\cdot 2^2+5=-8+5=-3$

Bestimme $f(x_0)$: $\\$ $f(2)=-2\cdot 2^2+5=-8+5=-3$

Damit folgt, dass die Tangente durch den Punkt $P(2 \mid -3)$ verläuft. Setze den Punkt in den Funktionsterm $g(x)$ ein und löse nach $b$ auf: $\\$ $-3=(-8)\cdot 2+b$ $\\$ $\phantom{-}b=13$

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$. Berechne die Tangente(n) mit der Steigung $m=-1$.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.

$g(x)=mx+b$ $\\$ $m$: Steigung $\\$ $b$: y-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

$f'(x)=2x$

Setze die Ableitung mit der Steigung gleich und löse nach $x$ auf.

$−1=2x$ $\\$ $x=-\dfrac{1}{2}$

Setze den $x$-Wert in die Funktion ein, um einen Punkt zu erhalten.

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

Setze den $x$-Wert, $y$-Wert und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $b$ auf.

$\dfrac{1}{4}=-1\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)+b$ $\\$ $b=-\dfrac{1}{4}$

Zur Berechnung der Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen.

$f'(x)=4x^3+6x^2-24x$ $\\$ $f''(x)=12x^2+12x-24$ $\\$ $f'''(x)=24x+12$

Alle möglichen Wendepunkte erfüllen $f''(x) = 0$, man benötigt also die Nullstellen der zweiten Ableitung.

$f''(x)=12x^2+12x-24=0$

Die quadratische Gleichung wird mit der abc-Formel gelöst.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\\$ $\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 12\cdot (-24)}}{2\cdot 12}$ $\\$ $\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+1152}}{24}$ $\\$ $\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm 36}{24}$ $\\$ $x_{1}=\dfrac{-12- 36}{24}=\dfrac{-48}{24}=-2$ $\\$ $x_{2}=\dfrac{-12+ 36}{24}=\dfrac{24}{24}=1$

Man muss diese Stellen noch in die dritte Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob hier Wendepunkte vorliegen.

$f'''(x_1)=24\cdot (-2)+12\ne 0$ $\\$ $f'''(x_2)=24\cdot 1+12\ne 0$

Da beide Stellen eine dritte Ableitung ungleich Null besitzen, liegt an beiden Stellen ein Wendepunkt vor. Zur Berechnung der Tangenten benötigt man noch den Funktionswert und den Wert der Ableitung an den entsprechenden Stellen.

$f(x_1)=(-2)^4+2\cdot (-2)^3-12\cdot (-2)^2+3=-45$ $\\$ $f(x_2)=1^4+2\cdot 1^3-12\cdot 1^2+3=-6$ $\\$ $f'(x_1)=4\cdot (-2)^3+6\cdot (-2)^2-24\cdot (-2)=40$ $\\$ $f'(x_2)=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2-24\cdot 1=-14$

Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt die beiden Wendetangenten $g_1,g_2$.

$g_1(x)=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)=40(x-(-2))-45$ $\\$ $g_2(x)=f'(x_2)(x-x_2)+f(x_2)=-14(x-1)-6$