Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt

Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach $+\infty$ abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.

Beispiel: Sinus-Funktion

Betrachtest du $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ im Bereich $\left[0,\frac{5}{2}\pi\right]$.

• Die erste Ableitung der Funktion ist $f'(x)=\cos(x)$

• Die zweite Ableitung dieser Funktion ist  $f''\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$.

• Die $x$-Werte der Wendepunkte im Bereich $\left[0,\frac52\pi\right]$ sind $x_1=0$, $x_2=\pi$, $x_3=2\pi$.

Um zu berechnen, wie der Graph von $f$ im Bereich $\left[0,\pi\right]$ gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:

Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.

Man wählt zum Beispiel $x=\frac\pi2$.

$f^{\prime\prime}\left(\frac\pi2\right)=-\sin\left(\frac\pi2\right)=-1\;<0$

Der Graph von $f$ ist also im Bereich  $\rbrack0,\pi\lbrack$ rechtsgekrümmt.

Mit dem gleichen Verfahren erhält man:

$f$ in $\rbrack\pi,2\pi\lbrack$ linksgekrümmt

$f$ in $\left[2\pi,\frac52\pi\right]$ rechtsgekrümmt

Beispiel: Quadratische Funktion

Gegeben ist eine quadratische Funktion $f$ in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\in \mathbb R \backslash \{0\}$.

Die zweite Ableitung dieser Funktion ist $f^{\prime\prime}(x)=2a$.