Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

$f(x)$ ist ein Polynom. Zur Bestimmung der Ableitungen muss jeder Summand einzeln abgeleitet werden.

Leite $f'(x)=1{,}5x^2-4$ nochmals ab, um $f''(x)$ zu berechnen.

$f$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_0$, wenn die zweite Ableitung bei $x_0$ den Wert $0$ hat ($f''(x_0)=0$) und die dritte Ableitung an der Stelle $x_0$ ungleich $0$ ist ($f'''(x_0)\neq 0$).

Finde die Nullstellen von $f''(x)$:

$f$ hat also möglicherweise eine Wendestelle bei $x=0$

Bestimme die dritte Ableitung $f'''(x)$ und setze $x=0$ ein.

$f'''(0)=3\ne0\ \Rightarrow\$Somit hat $f$ eine Wendestelle bei $x=0$

Setze $x=0$ in $f(x)$ ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen:

Antwort: $f$ hat den Wendepunkt $W(0|1)$

Ergänzung: Graphen der Funktion

Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, teilst du den Definitionsbereich der Funktion $f$ in Intervalle mit dem gleichen Krümmungsverhalten. An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, sodass die Wendestellen und Ränder des Definitionsbereichs die Intervalle definieren.

$f$ hat eine Wendestelle bei $x=0$. Der Definitionsbereich von $f$ ist ganz $\mathbb R$. Somit hat $f$ das gleiche Krümmungsverhalten im Intervall

• $]-\infty;0[$

• $]0;\infty[$

Krümmungsverhalten in $]-\infty;0[$

Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f''(x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.

Setze z.B. $x=-1$ ein:

$f''(-1)<0\ \Rightarrow\ f''\left(x\right)\ <0$ für $x\in ]-\infty;0[$

Antwort: $f$ ist in $]-\infty;0[$ rechtsgekrümmt.

Krümmungsverhalten in $]0;\infty[$

Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f''(x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.

Setze z.B. $x=2$ ein:

$f''(2)>0\ \Rightarrow\ f''\left(x\right)\ >0$ für $x\in]0;\infty[$

Antwort: $f$ ist in $]0;\infty[$ linksgekrümmt.

Ergänzung: Graphen der Funktion

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

(Produktregel)

Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:

Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. $e^x$ kann nicht null werden. Also bleibt:

Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:

Also sind $x_{W_1}=-2+\sqrt{2}$ und $x_{W_2}=-2-\sqrt{2}$ Wendestellen.

Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_1\left(-0{,}59|0{,}19\right)$ und $W_2\left(−3{,}41|0{,}38\right)$.

Um den Anstieg in den Wendepunkten zu ermitteln setzt man die Wendestellen in die erste Ableitung ein:

Die Tangenten in den Wendepunkten sind Geraden. Diese kann man allgemein mit in der Form $y=mx+n$ darstellen. Aus den vorangegangenen Aufgaben kennen wir bereits die Koordinaten der Wendepunkte ($W_1\left(-0{,}59|0{,}19\right)$ und $W_2(−3{,}14∣0{,}38)$) und den Anstieg in den Wendepunkten ($-0{,}46$ und $0{,}16$). Wir müssen nun nur noch die Informationen in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen, um n zu ermitteln.

Für die Tangente in $W_1$: $0{,}19=-0{,}46\cdot\left(-0{,}59\right)\ +n$, also $n\approx-0{,}08$. Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y=-0{,}46x-0{,}08$.

Für die Tangente in $W_2$: $0{,}38=0{,}16\cdot\left(-3{,}14\right)\ +n$, also $n\approx0{,}88$. Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y=0{,}16x+0{,}88$.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_1\left(-0.59|0.19\right)$ den Anstieg $−0{,}46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $-0{,}46$ beträgt: $f'\left(x\right)=e^x\left(2x+x^2\right)=-0{,}46$.

Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur die eine Lösung $-0{,}59$ gibt. Es existiert also keine zweite Tangente, die parallel zur Tangente im Wendepunkt $W_1$ ist. (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_2(−3{,}14∣0{,}38)$ den Anstieg $0{,}16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $0{,}16$ beträgt: $f'\left(x\right)=e^x\left(2x+x^2\right)=0{,}16$.

Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell die beiden Lösungen $x_1\approx-3{,}41$ und $x_2\approx0{,}07$. Wobei $x_1$ unsere Wendestelle ist. Es bleibt also $x_2$ als Stelle, bei der es eine Tangente parallel zur zweiten Wendetangente gibt. Für diese Stelle berechnet man zunächst den Funktionswert:

Damit haben wir den Punkt $P\left(0{,}07∣0{,}005\right)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y=mx+n$ ein, erhalten wir eine zur Wendetangente parallele Tangente:

Also hat die gesuchte Tangente die Gleichung: $y=0{,}16x-0{,}006$.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_1(−0.59∣0.19)$ den Anstieg $−0{,}46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg der Normalen gleich $-0{,}46$ ist. Da eine Normale senkrecht auf der Tangente steht, sucht man eine Stelle der Funktion, sie eine Tangente hat, die senkrecht zur Wendetangente ist.

Der Anstieg der senkrechten Tangente errechnet sich aus $m_S=-\frac{1}{m_T}$. Also muss $m_S=-\frac{1}{-0{,}46}$. Damit muss gelten: $f'(x)=e^x(2x+x^2)=\frac{1}{0{,}46}$ (Die beiden Minuszeichen heben sich auf).

Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur eine Lösung gibt: $x\approx0{,}52$ . (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)

Nun berechnet man für die gefundene Stelle den Funktionswert:

Damit haben wir den Punkt $P(0{,}52∣0{,}44)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg $\frac{1}{0{,}46}$, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y=mx+n$ ein, erhalten wir eine Normale, die parallel zur ersten Wendetangente ist:

Also hat die gesuchte Normale die Gleichung: $y=-0{,}46\cdot x+0{,}68$.

Nun berechnen wir auf dem gleichen Weg die Normale, die parallel zur zweiten Wendetangente ist:

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_2(−3{,}14∣0{,}38)$ den Anstieg $0{,}16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg $m=-\frac{1}{0{,}16}$ beträgt: $f'\left(x\right)=e^x\left(2x+x^2\right)=-\frac{1}{0{,}16}$.

Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es keine Lösung gibt. Die oben angegebene Normale bleibt also die einzige Normale, die parallel zu einer Wendetangente ist.