Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Gegeben ist die Funktion $f (x) = 0,5 x^{3} - 4 x + 1$ .

Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
$f (x)$ ist ein Polynom. Zur Bestimmung der Ableitungen muss jeder Summand einzeln abgeleitet werden.
$f^{'} (x)$ $=$ $3 \cdot 0,5 x^{3 - 1} - 1 \cdot 4 x^{1 - 1} + 0$
$=$ $1,5 x^{2} - 4 x^{0}$
↓
$x^{0} = 1$
$=$ $1,5 x^{2} - 4$
Leite $f^{'} (x) = 1,5 x^{2} - 4$ nochmals ab, um $f^{''} (x)$ zu berechnen.
$f^{''} (x)$ $=$ $2 \cdot 1,5 x^{2 - 1} - 0$
$=$ $3 x$
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Berechne die Wendepunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt und Terrassenpunkt
$f$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_{0}$ , wenn die zweite Ableitung bei $x_{0}$ den Wert $0$ hat ( $f^{''} (x_{0}) = 0$ ) und die dritte Ableitung an der Stelle $x_{0}$ ungleich $0$ ist ( $f^{'''} (x_{0}) \neq 0$ ).
Finde die Nullstellen von $f^{''} (x)$ :
Setze f''(x) gleich $0$
↓
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
↓
Setze $f^{''} (x)$ ein.
$3 x$ $=$ $0$ $: 3$
$x$ $=$ $0$
$f$ hat also möglicherweise eine Wendestelle bei $x = 0$
Bestimme die dritte Ableitung $f^{'''} (x)$ und setze $x = 0$ ein.
Leite $f^{''} (x) = 3 x$ ab
↓
$f^{'''} (x)$ $=$ $1 \cdot 3 x^{1 - 1}$
$=$ $3$
$f^{'''} (0) = 3 \neq 0 \Rightarrow$ Somit hat $f$ eine Wendestelle bei $x = 0$
Setze $x = 0$ in $f (x)$ ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen:
$f (0)$ $=$ $0,5 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$
$=$ $1$
Antwort: $f$ hat den Wendepunkt $W (0 | 1)$
Ergänzung: Graphen der Funktion
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Bestimme das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, teilst du den Definitionsbereich der Funktion $f$ in Intervalle mit dem gleichen Krümmungsverhalten. An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, sodass die Wendestellen und Ränder des Definitionsbereichs die Intervalle definieren.
$f$ hat eine Wendestelle bei $x = 0$ . Der Definitionsbereich von $f$ ist ganz $ℝ$ . Somit hat $f$ das gleiche Krümmungsverhalten im Intervall
$] - \infty; 0 [$
$] 0; \infty [$
Krümmungsverhalten in $] - \infty; 0 [$
Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f^{''} (x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
Setze z.B. $x = - 1$ ein:
$f^{''} (x) = 3 x$
↓
$f^{''} (- 1)$ $=$ $3 \cdot (- 1)$
$=$ $- 3$
$<$ $0$
$f^{''} (- 1) < 0 \Rightarrow f^{''} (x) < 0$ für $x \in] - \infty; 0 [$
Antwort: $f$ ist in $] - \infty; 0 [$ rechtsgekrümmt.
Krümmungsverhalten in $] 0; \infty [$
Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f^{''} (x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
Setze z.B. $x = 2$ ein:
$f^{''} (x) = 3 x$
↓
$f^{''} (2)$ $=$ $3 \cdot 2$
$=$ $6$
$>$ $0$
$f^{''} (2) > 0 \Rightarrow f^{''} (x) > 0$ für $x \in] 0; \infty [$
Antwort: $f$ ist in $] 0; \infty [$ linksgekrümmt.
Ergänzung: Graphen der Funktion
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$f^{'} (x)$	$=$	$3 \cdot 0,5 x^{3 - 1} - 1 \cdot 4 x^{1 - 1} + 0$
	$=$	$1,5 x^{2} - 4 x^{0}$
	↓	$x^{0} = 1$
	$=$	$1,5 x^{2} - 4$

Setze f''(x) gleich $0$
	↓
$f^{''} (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f^{''} (x)$ ein.
$3 x$	$=$	$0$	$: 3$
$x$	$=$	$0$

Leite $f^{''} (x) = 3 x$ ab
	↓
$f^{'''} (x)$	$=$	$1 \cdot 3 x^{1 - 1}$
	$=$	$3$

$f^{''} (x) = 3 x$
	↓
$f^{''} (- 1)$	$=$	$3 \cdot (- 1)$
	$=$	$- 3$
	$<$	$0$

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Krümmungsverhalten in ]−∞;0[

Krümmungsverhalten in ]0;∞[

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Krümmungsverhalten in $] - \infty; 0 [$

Krümmungsverhalten in $] 0; \infty [$