$f(x)$ ist ein Polynom. Zur Bestimmung der Ableitungen muss jeder Summand einzeln abgeleitet werden.

Leite $f'(x)=1{,}5x^2-4$ nochmals ab, um $f''(x)$ zu berechnen.

$f$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_0$, wenn die zweite Ableitung bei $x_0$ den Wert $0$ hat ($f''(x_0)=0$) und die dritte Ableitung an der Stelle $x_0$ ungleich $0$ ist ($f'''(x_0)\neq 0$).

Finde die Nullstellen von $f''(x)$:

$f$ hat also möglicherweise eine Wendestelle bei $x=0$

Bestimme die dritte Ableitung $f'''(x)$ und setze $x=0$ ein.

$f'''(0)=3\ne0\ \Rightarrow\$Somit hat $f$ eine Wendestelle bei $x=0$

Setze $x=0$ in $f(x)$ ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen:

Antwort: $f$ hat den Wendepunkt $W(0|1)$

Ergänzung: Graphen der Funktion

Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, teilst du den Definitionsbereich der Funktion $f$ in Intervalle mit dem gleichen Krümmungsverhalten. An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, sodass die Wendestellen und Ränder des Definitionsbereichs die Intervalle definieren.

$f$ hat eine Wendestelle bei $x=0$. Der Definitionsbereich von $f$ ist ganz $\mathbb R$. Somit hat $f$ das gleiche Krümmungsverhalten im Intervall

• $]-\infty;0[$

• $]0;\infty[$

Krümmungsverhalten in $]-\infty;0[$

Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f''(x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.

Setze z.B. $x=-1$ ein:

$f''(-1)<0\ \Rightarrow\ f''\left(x\right)\ <0$ für $x\in ]-\infty;0[$

Antwort: $f$ ist in $]-\infty;0[$ rechtsgekrümmt.

Krümmungsverhalten in $]0;\infty[$

Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f''(x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.

Setze z.B. $x=2$ ein:

$f''(2)>0\ \Rightarrow\ f''\left(x\right)\ >0$ für $x\in]0;\infty[$

Antwort: $f$ ist in $]0;\infty[$ linksgekrümmt.

Ergänzung: Graphen der Funktion