Bestimme die ersten drei Ableitungen:
f ′ ( x ) = − 2 x ⋅ e − x 2 f ′ ( x ) = − 2 x ⋅ e − x 2
(Ableitung nach der Kettenregel )
f ′ ′ ( x ) = − 2 ⋅ e − x 2 + ( − 2 x ) ( − 2 x ) e − x 2 = − 2 ⋅ e − x 2 + 4 x 2 ⋅ e − x 2 = e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 ) f ′′ ( x ) = − 2 ⋅ e − x 2 + ( − 2 x ) ( − 2 x ) e − x 2 = − 2 ⋅ e − x 2 + 4 x 2 ⋅ e − x 2 = e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 )
(Ableitung nach Produktregel )
f ′ ′ ′ ( x ) = − 2 x ⋅ e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 ) + e − x 2 ⋅ 8 x = e − x 2 ( 4 x − 8 x 3 + 8 x ) = e − x 2 ( 12 x − 8 x 3 ) f ′′′ ( x ) = − 2 x ⋅ e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 ) + e − x 2 ⋅ 8 x = e − x 2 ( 4 x − 8 x 3 + 8 x ) = e − x 2 ( 12 x − 8 x 3 )
Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
0 = e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 ) 0 = e − x 2 ( − 2 + 4 x 2 )
Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird. e − x 2 e − x 2 e e 0 = − 2 + 4 x 2 0 = − 2 + 4 x 2
0 = − 2 + 4 x 2 0 = − 2 + 4 x 2
2 = 4 x 2 2 = 4 x 2
1 2 = x 2 2 1 = x 2
Damit erhält man 1 2 = x 1 2 1 = x 1 − 1 2 = x 2 − 2 1 = x 2
Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:
f ′ ′ ′ ( 1 2 ) = e − ( 1 2 ) 2 ( 12 ⋅ 1 2 − 8 ⋅ ( 1 2 ) 3 ) = 4 2 ⋅ e − 1 2 > 0 f ′′′ ( 2 1 ) = e − ( 2 1 ) 2 12 ⋅ 2 1 − 8 ⋅ ( 2 1 ) 3 = 4 2 ⋅ e − 2 1 > 0
Also ist x 1 = 1 2 x 1 = 2 1
f ′ ′ ′ ( − 1 2 ) = e − ( − 1 2 ) 2 ( 12 ⋅ ( − 1 2 ) − 8 ⋅ ( − 1 2 3 ) ) = − 4 2 ⋅ e − 1 2 < 0 f ′′′ ( − 2 1 ) = e − ( − 2 1 ) 2 ( 12 ⋅ ( − 2 1 ) − 8 ⋅ ( − 2 1 3 ) ) = − 4 2 ⋅ e − 2 1 < 0 Also ist x 2 = − 1 2 x 2 = − 2 1
Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:
f ( 1 2 ) = e − ( 1 2 ) 2 = e − 1 2 f ( 2 1 ) = e − ( 2 1 ) 2 = e − 2 1 und
f ( − 1 2 ) = e − ( − 1 2 ) 2 = e − 1 2 f ( − 2 1 ) = e − ( − 2 1 ) 2 = e − 2 1 .
Die gesuchten Wendepunkte sind also: W 1 ( 1 2 ∣ e − 1 2 ) W 1 ( 2 1 ∣ e − 2 1 ) W 2 ( − 1 2 ∣ e − 1 2 ) W 2 ( − 2 1 ∣ e − 2 1 )
