Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

(Ableitung nach der Kettenregel)

(Ableitung nach Produktregel)

Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn ein Faktor Null wird. $e^{-x^2}$ wird niemals Null, da $e$ nicht Null ist. Also brauchst du nur $0=-2+4x^2$ untersuchen:

Damit erhält man $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)}=x_1$ und $-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)}=x_2$

Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:

Also ist $x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

Also ist $x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:

und

.

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_1(\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{-\frac{1}{2}})$ und $W_2(-\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{-\frac{1}{2}})$