Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Bestimme die ersten drei Ableitungen (Quotientenregel):

\displaystyle f'(x)=\frac{1\ \cdot\left(3+x\right)-\left(x+1\right)\ \cdot1}{\left(3+x\right)^2}=\frac{3+x-x-1}{\left(3+x\right)^2}=\frac{2}{\left(3+x\right)^2}=2\ \cdot\left(3+x\right)^{-2}

\displaystyle f''(x)=2\ \cdot1\ \cdot\left(-2\right)\cdot\left(3+x\right)^{-3}=-4\left(3+x\right)^{-3}

(Ableitung nach Kettenregel)

\displaystyle f'''(x)=-4\ \cdot1\cdot(-3)\cdot\left(3+x\right)^{-4}

Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:

\displaystyle 0=-4\left(3+x\right)^{-3}

\displaystyle 0=\left(3+x\right)^{-3}=\frac{1}{\left(3+x\right)^3}

Multipliziert man diese Gleichung mit $(3 + x)^{3}$ erhält man $0 = 1$ , eine falsche Aussage. Damit gibt es kein x, was die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt. Die Funktion kann also keine Wendepunkte haben. (Man hätte sich also auch die dritte Ableitung sparen können :-))