Ziel dieses Kurses ist es, den Begriff der ganzrationalen Funktion einzuführen und den charakteristischen Verlauf des Graphen zu erarbeiten.

Inhalte

• Begriffsklärung Polynomfunktion

• Verhalten des Graphen im Unendlichen

• Symmetrieverhalten von Polynomfunktionen

Vorwissen

• Potenzfunktionen

• Graphen von Potenzfunktionen

Funktion - Potenzfunktion - ganzrationale Funktion

Funktionen

Potenzfunktionen

Ganzrationale Funktionen

Mathematische Beschreibung einer ganzrationalen Funktion

Eine ganzrationale Funktion ist definiert als eine Funktion, die sich in folgender Form schreiben lässt:

$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_{0}f(x)\; =\; a\_n\; \backslash cdot\; x^n+\; a\_\{n-1\}\backslash cdot\; x^\{n-1\}+\dots +a\_2\; \backslash cdot\; x^2+a\_1\; \backslash cdot\; x+a\_0$.

Dabei ist $xx$ die Variable, die $a_n,a_{n-1},\dots ,a_2,a_1,a_{0}a\_n,\; a\_\{n-1\},\dots ,a\_2,a\_1,a\_0$ sind reelle Zahlen, und $nn$ ist eine natürliche Zahl.

Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Noch ein paar Begriffe

Exponenten:

Die in der Definition der ganzrationalen Funktion vorkommenden hochgestellten Zahlen $n,n-1,\dots n,\; n-1,\dots$ sind Exponenten; so bezeichnet man nämlich allgemein bei einer Potenz die hochgestellte Zahl.

Koeffizienten:

Die Zahlen $a_n,a_{n-1},\dots ,a_2,a_1,a_{0}a\_n,\; a\_\{n-1\},\dots ,a\_2,a\_1,a\_0$ nennt man Koeffizienten. (Die tief gestellten $n,n-1,\dots ,0n,\; n-1,\dots ,\; 0$ sind hier nur da, damit man die Koeffizienten auseinanderhalten kann.)

Grad einer ganzrationalen Funktion

Hier findest du noch ein paar Beispiele und Nicht-Beispiele zu Polynomfunktionen.

1. $f(x)=-x^2-5x+1f(x)=-x^2-5x+1$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle quadratischen Funktionen Polynomfunktionen.

2. $f(x)=\sqrt{2}\cdot x^2-\pi \cdot x^{7}f(x)=\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; x^2-\backslash pi\; \backslash cdot\; x^7$ ist eine Polynomfunktion.

3. $f(x)=\sqrt{x-1}f(x)=\backslash sqrt\{x-1\}$ und $f(x)=x+\frac{1}{x}f(x)=x+\backslash frac\{1\}\{x\}$ sind keine Polynomfunktionen, da ein $xx$ unter der Wurzel steht bzw. negative Exponenten vorkommen.

4. $f(x)=2x+3f(x)=2x+3$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle linearen Funktionen Polynomfunktionen.

5. $f(x)=x+2^{x}f(x)=x+2^x$ ist keine Polynomfunktion, da die Variable im Exponenten vorkommt.

6. $f(x)=-\mathrm{2,3}f(x)=-2\{,\}3$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle konstanten Funktionen Polynomfunktionen.

7. $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3+3}f(x)=\backslash frac\{x^2-x+1\}\{x^3+3\}$ ist keine Polynomfunktion, da die Variable $xx$ im Nenner vorkommt. Dies nennt man auch eine gebrochenrationale Funktion.

8. $f(x)=(x-1)(x^2+1)f(x)=(x-1)(x^2+1)$ ist eine Polynomfunktion, da der Funktionsterm durch Ausmultiplizieren zu $f(x)=x^3-x^2+x-1f(x)=x^3-x^2+x-1$ umgeformt werden kann und somit Polynomform hat.

Normalerweise schreibt man eine Polynomfunktion so auf, dass die Potenzen vom größten bis zum niedrigsten Exponent geordnet sind.

Also nicht $f(x)=2x^2+1-x^{7}f(x)=2x^2+1-\; x^7$, sondern $f(x)=-x^7+2x^2+1f(x)=-x^7+2x^2+1$.

Die Problemstellung

Bei Potenzfunktionen der Form $f(x)=a\cdot x^{n}f(x)=a\backslash cdot\; x^n$ kann man das ungefähre Aussehen des Graphen nach einigen Regeln aus dem Funktionsterm "vorhersagen".

Ganzrationale Funktionen (bzw. Polynomfunktionen) sind als Summe solcher Potenzfunktionen darstellbar - so sind sie ja definiert.

Trotzdem: Ein paar Aussagen anhand des Terms wird man machen können.

Im Folgenden wollen wir anhand von drei "Forschungsbeispielen" versuchen, solche Regeln herauszufinden, und diese Regeln anschließend zu formulieren.

Einigkeit macht stark! - Beispiel 1: $f(x)=x^4+x^{2}f(x)=x^4+x^2$

Um eine Vorstellung vom Graphen von $ff$ zu bekommen (ohne eigens eine Wertetabelle anzulegen und ihn zu zeichnen), zerlegen wir $ff$ am besten zunächst in die beiden Potenzfunktionen, aus denen er zusammengesetzt ist:

Mit diesen Festlegungen ist dann natürlich $f=q+pf=q+p$.

$qq$ und $pp$ sind Potenzfunktionen; das Verhalten ihrer Graphen kann man aus ihren Funktionstermen bereits vorhersagen, oder du liest es jetzt an den obigen Graphen ab:

Und was vermutest du nun für den Graphen von $ff$?

Denke nach, und gehe dann zur nächsten Seite dieses Kurses …

Hier siehst du eine Graphik, in der alle drei Graphen eingezeichnet sind.

Wer setzt sich durch? - Beispiel 2: $f(x)=x^4-x^{2}f(x)=x^4\; -\; x^2$

Auch diese Funktion zerlegen wir zunächst in zwei Potenzfunktionen $qq$ und $pp$, aus denen sie zusammengesetzt ist:

Mit diesen Festlegungen ist dann auch diesmal $f=q+pf=q+p$ (und nicht $q-pq-p$).

Aber diesmal unterscheidet sich das Verhalten von $qq$ und von $pp$ für sehr große bzw. sehr kleine $xx$-Werte.

Was vermutest du?

• Wird sich $pp$ durchsetzen, und $ff$ auf beiden Seiten gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ gehen?

• Oder wird $qq$ stärker sein, und $ff$ ist auf beiden Seiten nach $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$ gerichtet?

• Oder heben sich $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$ und $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ auf, und $ff$ pendelt sich irgendwie auf $00$ ein?

• Oder sonst irgendetwas anderes?

Denke nach, probiere es, wenn du dir unsicher bist, aus und zeichne den Graphen - mit einer Wertetabelle oder mit einem Funktionsplotter

• und schaue erst dann auf die nächste Kursseite!

Noch mehr verschiedene Einflüsse - Beispiel 3: $f(x)=x^4+\mathrm{0,5}{x}^3-2x^{2}f(x)=x^4+0\{,\}5\; x^3-2x^2$

Auch diese Funktion zerlegen wir zunächst in die drei Bestandteile, aus denen sie offenkundig besteht:

Und nun?

Was vermutest du?

Denke nach, notiere deine Überlegungen, und wenn du möchtest, probiere es einfach aus - indem du den Graphen mithilfe einer Wertetabelle oder mit einem Funktionsplotter zeichnest.

Auf der nächsten Kursseite findest du wieder die Auflösung.

Nun ja, Achsensymmetrie zur $yy$-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung kann man wohl nicht erwarten, wenn verschieden-symmetrische Funktionen miteinander kombiniert werden.

Und im Unendlichen hat sich anscheinend wieder $qq$ durchgesetzt?

Wie du vielleicht erkennen kannst, gibt es doch ein paar Regeln, nach denen man das Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion vorhersagen kann.

Dazu betrachten wir abschließend alle drei Forschungsbeispiele und versuchen dabei herauszufinden, wie der Verlauf der Polynomfunktion $ff$ von seinen Bestandteilen $(q,p(q,p$ (und $ss$)$))$ abhängt.

In allen drei Fällen nähert sich der Graph $ff$ dem Graphen von $x^{4}x^4$ für betragsmäßig große (also sehr große und sehr kleine) $xx$-Werte. Bei unseren Forschungsbeispielen war $x^{4}x^4$ die Potenz mit dem höchsten Exponenten.

Allgemein gilt:

Wie bei Potenzfunktionen gibt es nur vier Möglichkeiten für den charakteristischen Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion.

Symmetrie zum Koordinatensystem vorhanden

Achsensymmetrie zur $yy$-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung

Symmetrie zum Koordinatensystem nicht vorhanden

Ob es Achsensymmetrie zu einer anderen Achse als der $yy$-Achse oder Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung gibt, ist eine andere Frage, die schwieriger zu beantworten ist und hier nicht behandelt werden soll.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Symmetrie

Wenn im Funktionsterm der ganzrationalen Funktion

• nur gerade Potenzen der Variablen vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur $yy$-Achse,

• nur ungerade Potenzen der Variablen vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung,

• gerade und ungerade Potenzen der Variablen vorkommen, hat der Graph keine Symmetrie zum Koordinatensystem.

Verhalten im Unendlichen

Im Unendlichen verhält sich der Graph in etwa so wie die Potenzfunktion im Funktionsterm, die den höchsten Exponenten hat.

Sonstiger Verlauf des Graphen

• In der Nähe von $00$ verhält sich der Graph in etwa so wie die Potenzfunktion im Funktionsterm, die den niedrigsten Exponenten hat.

• Der übrige Verlauf des Graphen wird von allen im Funktionsterm vorkommenden Termen beeinflusst; um Genaueres über ihn herauszufinden, sind zusätzliche Untersuchungen der Funktion notwendig.

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