Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von
f(x)=112⋅(3x4+4x3−12x2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion f benötigst du die Ableitungen von f.
Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.
f(x)=112(3x4+4x3−12x2)
Leite f mithilfe der Ableitungsregeln a.
f′(x)=112(12x3+12x2−24x)
f′(x)=x3+x2−2x
Nutze die erste Ableitung von f(x) als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von f zu bestimmen.
f′′(x)=3x2+2x−2
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also f′(x) gleich 0.
x ausklammern.
Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da x als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.
⇒x1=0
Löse nun die Gleichung x2+x−2x=0.
Mitternachtsformel anwenden.
Unter der Wurzel zusammenfassen.
Wurzel ziehen.
x2=1
x3=−2
x-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
f(0)=112(3⋅04+4⋅03−12⋅02)
f(0)=112(0+0−0)=0
x-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in f′′(x) einsetzen.
f′′(0)=3⋅02+2⋅0−2=−2
Da f′′(0)<0 hat f(x) an der Stelle (0|0) einen Hochpunkt .
⇒H(0|0)
Setze den x-Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
f(1)=112(3⋅14+4⋅13−12⋅12)
f(1)=112(3+4−12)=112⋅(−5)=−512
Setze den x-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in f′′(x) ein.
f′′(1)=3⋅12+2⋅1−2=3
Da f′′(1)>0 hat f(x) an der Stelle (1|−512) einen Tiefpunkt.
⇒T1(1|−512)
Setze den x-Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
f(−2)=112(3⋅(−2)4+4⋅(−2)3−12⋅(−2)2)
f(−2)=112(48−32−48)=112⋅(−32)
f(−2)=−3212=−83
x-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in f′′(x) einsetzen.
f′′(−2)=3⋅(−2)2+2⋅(−2)−2=6
Da f′′(−2)>0 hat f(x) an der Stelle (−2|−83) einen Tiefpunkt .
⇒T2(−2|−83)
Der Graph von f hat einen Tiefpunkt bei T2(−2|−83), einen Hochpukt bei H(0|0) und einen Tiefpunkt bei T1(1|−512).