Aufgaben zur Kurvendiskussion - lernen mit Serlo!

Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac1{12}\cdot\left(3\mathrm x^4+4\mathrm x^3-12\mathrm x^2\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion $f$ benötigst du die Ableitungen von $f$ .

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Erste Ableitung

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Leite $f$ mithilfe der Ableitungsregeln a.

$f'(x)=\frac{1}{12}\left(12x^3+12x^2-24x\right)$

$\phantom{f'(x)}=x^3+x^2-2x$

Zweite Ableitung

$f'(x)=x^3+x^2-2x$

Nutze die erste Ableitung von $f(x)$ als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von $f$ zu bestimmen.

$f''(x)=3x^2+2x-2$

Extrema bestimmmen

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also $f'(x)$ gleich 0.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+x^2-2x$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^2+x-2x\right)$
	↓	Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da $x$ als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.

$\Rightarrow\; x_1=0$

Löse nun die Gleichung $x^2+x-2x =0$ .

$\displaystyle x^2+x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm3}{2}$

$x_2=1$

$x_3=-2$

1. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

$f(0)=\frac{1}{12}\left(3\cdot0^4+4\cdot0^3-12\cdot0^2\right)$

$\phantom{f(0)}=\frac{1}{12}\left(0+0-0\right)=0$

Untersuche, ob der erste Extrempunkt Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in $f''(x)$ einsetzen.

$f''(x)=3x^2+2x-2$

$f''(0)=3\cdot0^2+2\cdot0-2=-2$

Da $f''(0)<0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $(0|0)$ einen Hochpunkt .

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{H}\left(0\vert0\right)$

2. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Setze den $x$ -Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f(1)=\frac{1}{12}\left(3\cdot1^4+4\cdot1^3-12\cdot1^2\right)$

$\phantom{f(1)}=\frac{1}{12}\left(3+4-12\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(-5\right)=-\frac{5}{12}$

Untersuche, ob der zweite Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

Setze den $x$ -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in $f''(x)$ ein.

$f''(x)=3x^2+2x-2$

$f''(1)=3\cdot1^2+2\cdot1-2=3$

Da $f''\left(1\right)>0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)$ einen Tiefpunkt.

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{T_1}\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)$

3. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Setze den $x$ -Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f(-2)=\frac{1}{12}\left(3\cdot(-2)^4+4\cdot(-2)^3-12\cdot(-2)^2\right)$

$\phantom{f(-2)}=\frac{1}{12}\left(48-32-48\right)=\frac{1}{12}\cdot(-32)$

$\phantom{f(-2)}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}$

Untersuche, ob der dritte Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$f''(x)=3x^2+2x-2$

$x$ -Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in $f''(x)$ einsetzen.

$f''(-2)=3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2=6$

Da $f''\left(-2\right)>0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)$ einen Tiefpunkt .

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{T_2}\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)$

Der Graph von $f$ hat einen Tiefpunkt bei $\mathrm{T_2}\left(-2|-\frac{8}{3}\right)$ , einen Hochpukt bei $\mathrm{H}(0\vert0)$ und einen Tiefpunkt bei $\mathrm{T_1}\left(1|-\frac{5}{12}\right)$ .

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