Aufgaben zur Polynomfunktion

Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu den Polynomfunktionen. Schaffst du sie alle?

1
Beschreibe den charakteristischen Verlauf der folgenden Funktionen.
1. $f (x) = - 9 x^{2} + 7 x - 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion kann mit ein paar Regeln vorhergesagt werden.
  $f$ ist eine eine quadratische Funktion, da der größte Exponent $2$ ist. Wir wissen, dass das Verhalten im Unendlichen vom Grad des Polynoms, sowie vom Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach Sortierung der Terme nach fallenden Exponenten) abhängt.
  Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$ -Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $- 9 x^{2}$ . Dieser ist negativ für jedes $x$ . Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$ :
  "Von links unten nach rechts unten".
  Also ungefähr so:
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2. $f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{6} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.
  $f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{6} + 1$
  Sortiere den Term nach fallenden Exponenten.
  $f (x) = 3 x^{6} + 2 x^{2} + 1$
  Lese den Grad der Funktion und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten ab.
  Die Funktion hat den Grad $6$ und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach der Sortierung) ist positiv.
  Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$ -Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $3 x^{6}$ . Dieser ist positiv für jedes $x$ . Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$ von links oben nach rechts oben.
  Da die Polynomfunktion nur Potenzen mit geradem Exponenten enthält, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
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3. $f (x) = (x - 3) (x + 4) (2 - x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.
  $f (x) = (x - 3) (x + 4) (2 - x)$
  Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.
  f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Alle drei Faktoren haben den Grad 1.
  Grad $f (x) = 1 + 1 + 1 = 3$
  Somit ist f ein Polynom dritten Grades.
  In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^{3}$ ist also negativ.
  $- x^{3}$ ist positiv, wenn $x$ negativ ist und negativ, wenn $x$ positiv ist.
  Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$ von links oben nach rechts unten.
  Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch.
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4. $g (x) = (x - 1) (x + 3)^{2} (x + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Erste Variante:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g(x)&=&(x-1)(x+3)^2(x+1)\end{array}$
  Zuerst wird $(x + 3)^{2}$ ausmultipliziert.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} && &=& (x-1)(x^2+6x+9)(x+1) \end{array}$
  Jetzt kannst Du die linke und die mittlere Klammer ausmultiplizieren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} && &=& (x^3 + 5x^2 +3x -9)(x+1)\end{array}$
  Als letztes wird die rechte Klammer multipliziert.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} && &=& x^4 +6x^3 +8x^2 -6x -9\end{array}$
  Jetzt hat $g$ eine schöne Gestalt, an der der charakteristische Verlauf abgelesen werden kann. Der Grad der Funktion $g$ ist $4$ . Der Term $x^{4}$ dominiert also für große Werte von $x$ . Da der Koeffizient vor dem $x^{4}$ gleich $+ 1$ ist und $x^{4}$ selbst positiv ist für alle $x$ , hat $g$ den charakteristischen Verlauf "Von links oben nach rechts oben".
  Zweite Variante (etwas fortgeschrittener):
  Zuerst ermittelst Du den Grad dieser Funktion ohne ausmultiplizieren der Terme. Da $g$ das Produkt von vier Linearfaktoren ist ( der Faktor $(x + 3)$ hat den Exponenten $2$ ) ist $g$ ein Polynom vierten Grades. In allen Faktoren taucht die Variable $x$ mit positivem Vorzeichen auf. Diese zwei Informationen genügen um den charakteristischen Verlauf von $g$ angeben zu können. Dieser ist nämlich "Von links oben, nach rechts oben".
  Der Graph von $f$ sieht so aus:
  (Anmerkung: Das Bild zeigt den "genauen" Verlauf des Graphen von $f$ und nicht nur einen ungefähren Verlauf; selbstverständlich kannst du die Einzelheiten (z. B. wie tief der Graph nach unten geht usw.) aus der obigen Betrachtung allein noch nicht wissen.)
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5. $h (x) = 3 x (1 - x^{2})^{2} (x + 7)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Bei der Funktion $h$ muss man etwas vorsichtiger sein. Es scheint so als wäre $h$ in Linearfaktoren zerlegt, doch wenn man genauer hinschaut fällt auf, dass die mittlere Klammer $(1 - x^{2})^{2}$ kein Linearfaktor ist. Dort taucht ein $\bold x^{2}$ auf!
  Das ist nicht schlimm. Weil wir aber diese Klammer nicht ausmultiplizieren wollen ( "Mathematiker sind faul" ), musst Du dir ein paar Überlegungen für dieses Polynom machen.
  Was solltest Du über $(1 - x^{2})^{2}$ zu wissen?
  Man braucht ja schließlich den größten Exponenten, der nach ausmultiplizieren der Klammer bleibt. Dieser berechnet sich als das Produkt vom größten Exponenten in der Klammer mit dem Exponenten der Klammer. In unserem Fall wird also $4 = 2 \cdot 2 4 = 2·2$ , der größte Exponent in $(1 - x^{2})^{2}$ sein.
  Stellen wir uns das Ausmultiplizieren der Klammer im Kopf vor, so stellen wir fest: Nur indem wir $- x^{2}$ mit sich selbst multiplizieren, erreichen wir die Potenz $x^{4}$ .
  Somit ist der Koeffizient vor dieser Potenz gleich $1 = (- 1)^{2}$ .
  Jetzt können wir endlich weiterrechnen :)
  Weiter geht's mit $h$
  Da $h$ das Produkt von drei Funktionen ist, erhalten wir den Grad von $h$ indem wir die Grade dieser Funktionen aufsummieren. Der Grad von $h$ ist also $6 = 1 + 4 + 1$ . Der Koeffizient vor der größten Potenz in $h$ ist das Produkt der Koeffizienten vor den größten Potenzen in den einzelnen Faktoren. Wir berechnen also $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3 3·1·1 = 3$ .
  Die Funktion $h$ sieht also so aus: $h (x) = 3 x^{6} + \dots h(x) = 3x^6 + …$ wobei " … " dafür steht, dass wir Terme mit niedrigeren Exponenten einfach ignorieren.
  Da $h$ einen geraden Grad hat und ihr erster Koeffizient positiv ist, ist ihr charakteristischer Verlauf "Von links oben nach rechts oben".
  Also ungefähr so:
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7. $f (x) = (x + 1) (2 - x) (1 + x^{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.
  Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.
  $f (x) = (x + 1) (2 - x) (1 + x^{2})$
  f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Die ersten beiden Faktoren haben den Grad 1, der dritte Faktor hat den Grad 2.
  Grad $f (x) = 1 + 1 + 2 = 4$
  Somit ist f ein Polynom vierten Grades.
  In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^{4}$ ist also negativ.
  $- x^{4}$ ist negativ, wenn $x$ negativ ist und negativ, wenn $x$ positiv ist.
  Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$ von links unten nach rechts unten.
  Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.
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8. $i(x)=-5x^k-(x-1)^{k+1}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
  Tipp: Lass dich vom $k$ nicht abschrecken ;) Setze doch mal einen Wert für $k$ ein ( z. B. $k = 1$ ) und schaue wie der charakteristische Verlauf in diesem Fall wäre. Bleibt der Verlauf dann gleich, wenn man andere Werte für $k$ wählt? Lassen sich Aussagen für allgemeinere Werte von $k$ machen?
  Die Funktion $i$ erfordert zusätzliche Überlegungen gegenüber den anderen, denn $k$ ist kein fester Wert. Es liegt an uns zu untersuchen, was für verschiedene Werte von $k$ mit der Funktion $i$ passiert.
  Doch bevor wir loslegen, schauen wir uns $i$ nochmal genauer an. Der Grad von $i$ ist gleich $k + 1$ , denn $k + 1$ ist immer größer als $k$ . Das erspart uns schon mal einiges an Arbeit. Wir wissen ja, dass nur der Teil mit der größten Potenz für den charakteristischen Verlauf von Bedeutung ist.
  Wie ist dann der charakteristische Verlauf vom Term $-(x-1)^{k+1}$ ?
  Nach dem Ausmultiplizieren des Terms ist der Summand mit dem größten Exponenten $-x^{k+1}$ Hier müssen wir wirklich unterscheiden, was für verschiedene Werte von $k$ passiert.
  Wenn $k$ ungerade ist, dann ist der Exponent $k + 1$ gerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist gleich $- 1$ . Somit hat $i$ für $k$ ungerade den charakteristischen Verlauf "von links unten nach rechts unten".
  Also ungefähr so:
  Wenn $k$ gerade ist, dann ist der Exponent $k + 1$ ungerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist weiterhin gleich $- 1$ . Somit ist der charakteristische Verlauf von $i$ "von links oben nach rechts unten".
  Also ungefähr so:
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2
Ordne die Graphen den richtigen Funktionen zu und gib jeweils eine kurze Begründung an. Zu zwei Funktionen gibt es keinen Graphen.
$f (x) = - 0.5 x + 1$
$g (x) = - 2 x^{2}$
$h (x) = x^{2} - x - 1$
$i (x) = - 3 x^{6} + 6 x^{5} - 2 x^{2} + 1$
$k (x) = x^{3} - x^{2} + 2.5$
$l (x) = 1$
$m (x) = - x^{5} + 2 x^{2}$
$n (x) = x^{6} + x^{4}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ganzrationale Funktionen
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die sich aus Polynomen zusammensetzt.
Graph A
Graph A verläuft von links unten nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion gerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kommen daher
Funktion $g$ mit $g (x) = - 2 x^{2}$ und
Funktion $i$ mit $i (x) = - 3 x^{6} + 6 x^{5} - 2 x^{2} + 1$ .
Funktion $g$ scheidet aus, da ihr Graph eine Parabel sein müsste.
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph A gehört zur Funktion $i$ .
Graph B
Graph B verläuft von links oben nach rechts oben.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion gerade
und der zugehörige Koeffizient positiv sein.
In Frage kommen daher:
Funktion $h$ mit $h (x) = x^{2} - x - 1$ und
Funktion $n$ mit $n (x) = x^{6} + x^{4}$ .
Um zwischen $h$ und $n$ zu unterscheiden, musst du also noch eine weitere Eigenschaft betrachten:
Der Graph von Funktion $n$ wird achsensymmetrisch zur y-Achse sein (Der Funktionsterm von $n$ enthält nur gerade Potenzen von $x$ und damit ist $f (- x) = f (x)$ ).
Der Graph von Funktion $h$ wird keine Symmetrie zur y-Achse aufweisen.
Graph B ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
Daher
kommt Funktion $n$ nicht in Frage.
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph B gehört zur Funktion $h$ .
Graph C
Graph C verläuft von links unten nach rechts oben.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient positiv sein.
In Frage kommt daher nur:
Funktion $k$ mit $k (x) = x^{3} - x^{2} + 2.5$
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph C gehört zur Funktion $k$ .
Graph D
Graph D gehört zu einer konstanten Funktion.
In Frage kommt daher nur:
Funktion $l$ mit $l (x) = 1$
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph D gehört zur Funktion $l$ .
Graph E
Graph E verläuft von links oben nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kommen daher:
Funktion $f$ mit $f (x) = - 0.5 x + 1$ und
Funktion $m$ mit $m (x) = - x^{5} + 2 x^{2}$ .
Funktion $f$ scheidet aber aus, da sie eine lineare Funktion ist und deshalb ihr Graph eine Gerade sein müsste.
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph E gehört zur Funktion $m$ .
Graph F
Graph F verläuft von links oben nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kämen daher wieder $f$ und $m$ . Aber du erkennst leicht:
Graph F ist eine Gerade.
Also muss die zu Graph F gehörende Funktion linear sein; das heißt, dass ihre Funktionsgleichung die Form $y = m x + t$ haben muss.
In Frage kommt daher nur:
Funktion $f$ mit $f (x) = - 0.5 x + 1$
$\Rightarrow$ Ergebnis: Graph F gehört zur Funktion $f$ .
Zusammenfassung:
Graph A: $i$ Graph B: $h$ Graph C: $k$ Graph D: $l$ Graph E: $m$ Graph F: $f$
keinen passenden Graphen: $g$ und $n$
3
Welcher Funktionsterm gehört zum Graph?
1. $\displaystyle f(x)=x^3-1$
  $\displaystyle f(x)=-x^3-1$
  $\displaystyle f(x)=x^4+x^3-x^2+5$
  $\displaystyle f(x)=x^2+2x-3$
2. $\displaystyle f(x)=x^4+x^2$
  $\displaystyle f(x)=x^2$
  $\displaystyle f(x)=x^5-x^2+1$
  $f (x) = - x^{4}$
3. $f(x)=x^5+\frac12x^4-2x$
  $f (x) = - x^{3} + 2 x^{2}$
  $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{2} + 4$
  $f (x) = - 3 x$

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

$g (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

$h(x)=0{,}5x^4-8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}h(x)=0{,}5x^4-8&=&0&|+8\\0{,}5x^4&=&8&|\cdot2\\x^4&=&16&|\sqrt[4]{}\\x_{1{,}2}&=&\pm2\\x_{1}&=&-2\\x_{2}&=&2\end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A(-2\vert0)$ und $B(2\vert0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$\displaystyle h\left(0\right)$ $=$ $\displaystyle 0{,}5\cdot0^4-8$
$=$ $\displaystyle 0-8$
$=$ $\displaystyle -8$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C(0\vert-8)$ .
$\;$
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Bestimme bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen, das Symmetrieverhalten, die Grenzwerte und die Wertemenge.

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = R D_f=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^4-2x^2+3$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -u^2-2u+3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot3}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{4+12}}{-2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{16}}{-2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm4}{-2}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle Fall\ 1:+$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle Fall\ 2:-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1{,}2}^2=u_1=-3$

Radizieren.

Für $\sqrt{-3}$ gibt es keine reelle Lösung.

$x_{3{,}4}^2=u_2=1$

Wurzel ziehen.

$x_{3{,}4}=\pm1$

Da es für $x_{1{,}2}$ keine reelle Lösung gibt, sind $x_{3{,}4}$ die einzigen Nullstellen von $f (x)$ .

Die Funktion $f (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{3} = - 1$ , $x_{4} = 1$ .

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.

Durch Berechnung

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^4-2x^2+3$
	↓	Prüfen ob $f (x) = f (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $f (x)$ ein.
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle -\left(-x\right)^4-2\left(-x\right)^2+3$
	↓	Umformen.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^4-2x^2+3$

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

$D_{f} = R D_f=ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^2}+3=-\infty$

gegen $-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^2}+3=-\infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei $x = 0$ .

Der Scheitelpunkt liegt also bei $S (0 ∣ f (0))$ .

Berechne $f (0)$ .

$f(0)=-0^4-2\cdot0^2+3=3$

Gib die Wertemenge an.

$\mathbb {W_f}=]-\infty; 3]$

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$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{g} = R D_g=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+1$
	↓	Setze $g (x) = 0$ .
$\displaystyle x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	1. Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x+1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -1$

Die Funktion $g (x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=-1$ .

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $g$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $g$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt $g$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Prüfen ob $g (x) = g (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $g (x)$ ein.

$g(-x)=(-x)^2+2\cdot(-x)+1$

$\phantom{g(-x)}=x^2-2x+1\neq g(x)$

$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Prüfen ob $g (x) = - g (- x)$ .

$-g(-x)=-(x^2-2x+1)=-x^2+2x-1\neq g(x)$

$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei $g$ keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

$D_{g} = R D_g=ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^2}+\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x}+1=\infty$

gegen $-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^2}+\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{2x}+1=\infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=-1$ besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt liegt also bei $S (- 1 ∣ 0)$ .

Gib die Wertemenge an.

$\mathbb {W_f}=[0; \infty[$

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$h (x) = - x^{3} + 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{h} = R D_h=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^3+4x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(-x^2+4\right)$
	↓	Setze $h (x) = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(-x^2+4\right)$
	↓	Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

$\Rightarrow x_1=0$

Setze die Klammer gleich Null und löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}-x^2+4&=&0&|+x^2\\4&=&x^2&|\sqrt{}\\\pm2&=&x_{2{,}3}\end{array}$

Die Funktion $h (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ und $x_{3} = 2$ .

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.

$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

$h (x) = - x^{3} + 4 x$

Prüfen ob $h (x) = h (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $h (x)$ ein.

$h(-x)=-(-x)^3+4\cdot(-x)$

$\phantom{h(-x)}=x^3-4x\neq h(x)$

$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Prüfen ob $h (x) = - h (- x)$ .

$\displaystyle -h\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle -\left(x^3-4x\right)$
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^3+4x$

$\Rightarrow$ Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

$D_{h} = R D_h=ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.

gegen $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^3}+\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x}=-\infty$

gegen $-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{-x^3}+\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{4x}=\infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

$\mathbb {W_f}=\mathbb{R}$

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$i (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{i} = R D_i=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-4x^2-3x+18$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ in $i (x)$ ein.
$\displaystyle i\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^3-4\cdot\left(-2\right)^2-3\cdot\left(-2\right)+18$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -8-16+6+18$

Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 2$ eine Nullstelle. Da $i (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{-}(x^3-4x^2-3x+18):(x+2)=x^2-6x+9\\\underline{-(x^3+2x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^2-3x\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^2-12x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;9x+18\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(9x+18)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 2$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-6x+9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	2. Binomische Formel anwenden.
$\displaystyle \left(x-3\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 3$

Die Funktion $i (x)$ hat eine einfache Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2{,}3}=3$ .

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $i$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $i$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt $i$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-4x^2-3x+18$
	↓	Prüfen ob $i (x) = i (- x)$ . Setze dafür $- x$ in $i (x)$ ein.
$\displaystyle i\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x\right)^3-4\cdot\left(-x\right)^2-3\cdot\left(-x\right)+18$

$\phantom{i(-x)}=-x^3-4x^2+3x+18\neq i(x)$

$\Rightarrow$ keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Prüfen ob $i (x) = - i (- x)$ .

$- i (- x) = - (- x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 18)$

$\phantom{-i(-x)}=x^3+4x^2-3x-18\neq i(x)$

$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei $i$ keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

$D_{i} = R D_i=ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^3}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{3x}+18=\infty$

gegen $-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{x^3}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}-\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{3x}+18=-\infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

$\mathbb {W_f}=\mathbb{R}$

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Führe für jede Funktion jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durch und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Folgende Aspekte werden in einer Kurvendiskussion untersucht:

Definitionsbereich
Nullstellen
Symmetrieverhalten
Extrem- und Wendepunkte
Grenzwerte
Monotonie

$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$

Definitionsbereich festlegen
Artikel zum Thema
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = R D_f=ℝ$ .
$f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1$
Um die Nullstellen von $f\left(x\right)$ zu bestimmten, wird $f\left(x\right)=0$ gesetzt.
$x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0$
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
$f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 1 + 1 = 0$
$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm{NS}}_1\left(1\vert0\right)$
Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.
Polynomdivision
Artikel zum Thema
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\left(x^3-x^2-x+1\right)\div\left(x-1\right)=x^2-1\\\underline{-\left(x^3-x^2\right))\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x+1\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-x+1\right)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Setze die erhaltene Funktion gleich 0.
$x^{2} - 1 = 0$
$x^{2} = 1$
Ziehe die Wurzel aus $x^{2}$ und $1$ .
$\sqrt{x^2}=\sqrt1$
$\;\;\Rightarrow\;\;x_2=1$
$\;\;\Rightarrow\;\;x_3=-1$
Symmetrieverhalten
Artikel zum Thema
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Prüfen ob $f (x) = f (- x)$
Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft
$x^3-x^2-x+1=\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1$
$x^3-x^2-x+1\;\neq\;-x^3-x^2+x+1$
Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da $f\left(x\right)\ne f\left(-x\right)$ .
Prüfen ob $f (- x) = - f (x)$
Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
$\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1=-\left(x^3-x^2-x+1\right)$
$-x^3-x^2+x+1\neq-x^3+x^2+x-1$
Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da $f(-x)\ne-f(x)$ .
Ableitungen
Artikel zum Thema
Erste Ableitung
$f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$
Zweite Ableitung
Die erste Ableitung von $f (x)$ ist Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.
$f^{''} (x) = 6 x - 2$
Dritte Ableitung
$f^{'''} (x) = 6$
Extrema bestimmen
Artikel zum Thema
$f^{'} (x) = 0$
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
$3x^2-2x-1\;=\;0$
Da $f^{'} (x)$ ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden.
$x_{1{,}2}=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3}$
$x_{1{,}2}=\dfrac{2\pm\sqrt{4-(-12)}}6$
$x_{1{,}2}=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}6=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}6$
$x_{1{,}2}=\frac{2\pm4}6$
$x_1=\frac{2+4}6=\frac66=1$
Der erste $x$ -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion $f (x)$ eingesetzt 0 ergibt.
$x_2=\frac{2-4}6=\frac{-2}6=-\frac13$
Der zweite $x$ -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion $f (x)$ eingesetzt 0 ergibt.
1. Extremum
Artikel zum Thema
$f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1$
$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
$f\left(1\right)=1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0$
$f\left(1\right)=0$
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
$f''\left(x\right)=6x-2$
$f''\left(1\right)=6\cdot1-2=4$
Da $f''\left(2\right)>0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(1\vert0\right)$ einen Tiefpunkt .
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{TP}\left(1\vert0\right)$
2. Extremum
Artikel zum Thema
$f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1$
$x$ -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
$f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^3-\left(-\frac13\right)^2-\left(-\frac13\right)+1$
$\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1$
Bilde den gemeinsamen Nenner der Summanden .
$\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac{1\cdot3}{9\cdot3}+\frac{1\cdot9}{3\cdot9}+\frac{1\cdot27}{1\cdot27}$
$\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac3{27}+\frac9{27}+\frac{27}{27}$
$\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=\frac{32}{27}$
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
$f''\left(x\right)=6x-2$
$f''\left(-\frac13\right)=6\cdot\left(-\frac13\right)-2=-4$
Da $f''\left(-\frac{1}{3}\right)<0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(-\frac{1}{3}\vert\frac{32}{27}\right)$ einen Hochpunkt .
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{HP}\left(-\frac13\vert\frac{32}{27}\right)$
Wendepunkte bestimmen
Artikel zum Thema
$f''\left(x\right)=6x-2$
Wegen $f'''(x)=6\neq 0$ ist die Bedingung immer erfüllt.
$f''\left(x\right)=0$
$6 x - 2 = 0$
$6 x = 2$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ $x=\frac26=\frac13$
Wendepunkt $x=\frac13$
$f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1$
Gefundenes $x$ aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in $f\left(x\right)$ einsetzen.
$f\left(\frac13\right)=\left(\frac13\right)^3-\left(\frac13\right)^2-\frac13+1$
$f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19-\frac13+1$
Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.
$f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac3{27}-\frac9{27}+\frac{27}{27}$
$f\left(\frac13\right)=\frac{16}{27}$
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{WP}\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)$
Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei $\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)$
Grenzwertbetrachtung
Artikel zum Thema
$D_{f} = R D_f=ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.
Bei Polynomen wird der Grenzwert bei $\pm \infty$ durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x^3=\infty$
und
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty$
Daher ist $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$ und $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ .
Monotonieverhalten
Artikel zum Thema
Die Monotonie der Funktion wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
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$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Definitionsbereich bestimmen

Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = R D_f=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Setze $f (x)$ gleich $0$ , um die Nullstellen von $G_{f}$ zu bestimmen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2x^4-4x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle. Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen. Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.

$x^2=u\;\Rightarrow\;f(u)=2u^2-4u+1$

Setze nun $f (u) = 0$ :

$2 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Zur Lösung dieser Gleichung verwendest du die Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 2$ , $b = - 4$ und $c = 1$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 4$ und $ c = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot2 \cdot 1}}{2\cdot 2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16-8}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{8}}{4}$

Du hast die beiden Lösungen

$u_1=\dfrac{4+\sqrt{8}}{4} =1+\dfrac{\sqrt{8}}{4}=1+\sqrt{0{,}5}$

und $u_2=\dfrac{4-\sqrt{8}}{4} =1-\dfrac{\sqrt{8}}{4}=1-\sqrt{0{,}5}$ erhalten.

Resubstitution:

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

Setze also $x^2=u\;\Rightarrow\;$ $x^2= 1+\sqrt{0{,}5}$ bzw. $x^2=1-\sqrt{0{,}5}$ und löse nach $x$ auf.

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1+\sqrt{0{,}5}$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1+\sqrt{0{,}5}}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \pm 1{,}31$

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt{0{,}5}$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1-\sqrt{0{,}5}}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \pm 0{,}54$

Der Graph der Funktion $f$ hat also insgesamt vier Nullstellen:

$N_1(1{,}31|0),\quad N_2(-1{,}31|0),\quad N_3(0{,}54|0),\quad N_4(-0{,}54|0)$

Ableitungen

$f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1$

Erste Ableitung:

$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x$

Zweite Ableitung:

$f^{''} (x) = 24 x^{2} - 8$

Extrema

Setze die erste Ableitung der Funktion gleich $0$ , um die Extrema von $G_{f}$ zu bestimmen.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 8x^3-8x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ ausklammern
$\displaystyle x\cdot\left(8x^2-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die Gleichung $x\cdot\left(8x^2-8\right)=0$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst.

$x_{1} = 0$ oder $8 x^{2} - 8 = 0$

$\displaystyle 8x^2-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 8x^2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$

Die Gleichung $x^{2} = 1$ hat die beiden Lösungen $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$

1. Extremum

Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der erste der gefundenen $x$ -Werte $x_{1} = 0$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^4-4x^2+1$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ ein.
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0^4-4\cdot 0^2+1$
	$=$	$\displaystyle 1$

Um herauszufinden, ob der gefundene x-Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{1} = 0$ in die zweite Ableitung eingesetzt.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle 24x^2-8$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ ein.
$\displaystyle f''(0)$	$=$	$\displaystyle 24\cdot 0^2-8$
	$=$	$\displaystyle -8$

Da $f^{''} (0) < 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = 0$ ein Hochpunkt.

$\Rightarrow\;\mathrm{HP}\left(0|1\right)$

2. Extremum

Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen $x$ -Werte $x_{2} = 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

$\displaystyle f\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot1^4-4\cdot1^2+1$
	$=$	$\displaystyle -1$

Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{2} = 1$ in die zweite Ableitung eingesetzt.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle 24x^2-8$
	↓	Setze $x_{2} = 1$ ein.
$\displaystyle f''(1)$	$=$	$\displaystyle 24\cdot 1^2-8$
	$=$	$\displaystyle 16$

Da $f^{''} (1) > 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = 1$ ein Tiefpunkt.

$\Rightarrow\;TP(1|-1)$

3. Extremum

Zur Bestimmung des $y$ -Werts des Extremums muss der dritte der gefundenen $x$ -Werte $x_{3} = - 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

$\displaystyle f\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-1)^4-4\cdot(-1)^2+1$
	$=$	$\displaystyle -1$

Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird $x_{3} = - 1$ in die zweite Ableitung eingesetzt.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle 24x^2-8$
	↓	Setze $x_{3} = - 1$ ein.
$\displaystyle f''(-1)$	$=$	$\displaystyle 24\cdot (-1)^2-8$
	$=$	$\displaystyle 16$

Da $f^{''} (- 1) > 0$ ist, befindet sich an der Stelle $x = - 1$ ein Tiefpunkt.

$\Rightarrow\;TP(-1|-1)$

Wendepunkte

Bestimme die $x$ -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:

$f''\left(x\right)=24x^2-8$

Bestimme jetzt die Lösungen von $f''\left(x\right)=0$ :

$\displaystyle 24x^2-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle x^2-\dfrac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\dfrac{1}{3}$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{3}$

Du hast die Gleichung $x^2=\dfrac{1}{3}$ erhalten. Sie hat die beiden Lösungen $x_{1{,}2}=\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Es gibt also die Kandidaten für die Wendepunkte $x_1=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ und $x_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ . Wenn an diesen Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, ist die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt.

Berechne die dritte Ableitung und setze die möglichen Wendestellen ein:

$f^{'''} (x) = 48 x$

\displaystyle f'''\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

=

\displaystyle \displaystyle\pm\frac{48}{\sqrt{3}}\neq 0

Damit ist die Bedingung erfüllt.

Um die $y$ -Koordinaten zu berechnen, werden die $x$ -Werte in die Funktion $f$ eingesetzt:

$f\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)^4-4\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+1=\frac{2}{9}-\frac{4}{3}+1=-\frac19$

$f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^4-4\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+1=\frac{2}{9}-\frac{4}{3}+1=-\frac19$

Damit hast du die Wendepunkte berechnet:

${\mathrm{WP}}_1\left(-\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)\text{bzw.}\;{\mathrm{WP}}_1\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\vert-\frac19\right)$

${\mathrm{WP}}_2\left(\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)\text{bzw.}\;{\mathrm{WP}}_2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert-\frac19\right)$

Grenzwertbetrachtung

$D_{f} = R D_f=ℝ$

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für $x\to\pm\infty$ betrachtet werden.

gegen $+\infty$ :

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\rightarrow\infty}{2x^4}-{4x^2}+1=\infty$

gegen $-\infty$ :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\rightarrow\infty}{2x^4}-{4x^2}+1=\infty$

Symmetrie

Durch Betrachtung des Funktionsterms

Die Exponenten zur Basis $x$ sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.

Durch Berechnung mit dem Kriterium $f (- x) = f (x)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^4-4x^2+1$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(-x\right)^4-4\cdot\left(-x\right)^2+1$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot x^4-4\cdot x^2+1$
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle f\left(-x\right)$

Da $f\left(x\right)$ gleich $f\left(-x\right)$ ist, ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beachte

Wenn du als Erstes die Symmetrie nachweist, kannst du die Koordinaten des dritten Extremums aus denen des zweiten direkt ablesen.

Genauso kannst du den zweiten Wendepunkt aus dem ersten bestimmen und den Grenzwert bei $-\infty$ aus dem Grenzwert bei $\infty$ .

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Graph

Hinweis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind in der Abbildung in aufsteigender Reihenfolge angegeben (im Gegensatz zur obigen Berechnung).

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$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $\mathbb{D}_f=ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Um die Nullstellen von $f\left(x\right)$ zu bestimmten, wird $f\left(x\right)=0$ gesetzt.
$x^{3} - 2 x^{2} = 0$
Klammere $x^{2}$ aus und betrachte die Faktoren einzeln.
$x^{2} (x - 2) = 0$
$\Rightarrow{\mathrm{NS}}_1\left(0\vert0\right), \mathrm{NS}_2( 2|0)$
Ableitungen
$f\left(x\right)=x^3-2x^2$
Erste Ableitung
$f'\left(x\right)=3x^2-4x$
Zweite Ableitung
$f''\left(x\right)=6x-4$
Extrema
x-Koordinaten bestimmen
$f'\left(x\right)=0$
$3 x^{2} - 4 x = 0$
$x$ ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.
$x (3 x - 4) = 0$
$\Leftrightarrow x=0$ oder $3 x - 4 = 0$
$\Rightarrow x_1=0, x_2=\dfrac{4}{3}$
y-Koordinaten bestimmen
Setze die gefundenen $x$ -Werte in $f$ ein, um die $y$ -Koordinaten der Extrema zu erhalten.
$f\left(x_1\right)=f\left(0\right)=0$
da $0$ eine Nullstelle ist.
$f\left(x_2\right)=f\left(\frac43\right)=\left(\frac43\right)^3-2\cdot\left(\frac43\right)^2=-\frac{32}{27}$
Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt
$f''\left(x\right)=6x-4$
Setze die gefundenen $x$ -Werte in $f^{''}$ ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
$f''\left(x_1\right)=f''\left(0\right)=-4$
$f'' \lt 0\Rightarrow\mathrm{HP}\left(0\vert0\right)$
$f''\left(x_4\right)=f''\left(\frac43\right)=6\cdot\frac43-4=4$
$f''>0 \Rightarrow\mathrm{TP}\left(\frac43\left|-\frac{32}{27}\right)\right.$
Wendepunkt
$f''\left(x\right)=6x-4$
Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.
x-Koordinate des Wendepunkts
$f''\left(x\right)=0$
$6 x - 4 = 0$
$\Rightarrow x_W=\dfrac46=\dfrac23$
y-Koordinate des Wendepunkts
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
Das gefundene $x_{W}$ wird in die Funktion $f$ eingesetzt, um die $y$ -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.
$f\left(\dfrac23\right)=\left(\dfrac23\right)^3-2\cdot\left(\dfrac23\right)^2=-\dfrac{16}{27}$
$\mathrm{WP}\left(\frac23\left|-\frac{16}{27}\right)\right.$
Grenzwertbetrachtung
$\mathbb{D}_f=ℝ$ . Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Grenzwertverhalten für $x\rightarrow\pm\infty$ untersucht werden.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x \rightarrow \infty} \overbrace{x^3}^{\rightarrow \infty}-2\cdot \overbrace{x^2}^{\rightarrow \infty}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\;\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-2\cdot\overset{\rightarrow+\infty}{\overset︷{x^2}}=-\infty$
Symmetrie
$f\left(x\right)=x^3-2\cdot x^2$
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.
Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:
$f\left(x\right)=x^3-2x^2$
$f\left(-x\right)=-x^3-2\cdot x^2$
Da $f\left(-x\right)$ weder gleich $f\left(x\right)$ noch $-f\left(x\right)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
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$f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von $f\left(x\right)$ in ganz $R ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
$f(x)=\frac{1}{2}x^4-\frac{3}{2}x^2+2$
Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grades zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet. Das funktioniert in diesem speziellen Fall, da der Funktionsterm biquadratisch ist, wie im Beispiel des Artikels Substitution.
$z = x^{2}$
$f\left(x\right)=\frac12z^2-\frac32z+2$
Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.
$z_{1/2}=\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-4\cdot\frac12\cdot2}}{2\cdot\frac12}=\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-\frac{16}4}}1=\frac{\frac32\pm\sqrt{-\frac74}}1$
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Die Funktion $f\left(x\right)$ hat keine Nullstellen.
Ableitungen
$f\left(x\right)=\frac12x^4-\frac32x^2+2$
Erste Ableitung
$f'\left(x\right)=2x^3-3x$
Zweite Ableitung
$f''\left(x\right)=6x^2-3$
Extrema bestimmen
$f'\left(x\right)=0$
Die erste Ableitung wird gleich $0$ gesetzt.
$2 x^{3} - 3 x = 0$
In dieser Gleichung kann $x$ ausgeklammert werden. $x (2 x^{2} - 3) = 0$ . Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt die erste Nullstelle.
$x_{1} = 0$
$2 x^{2} - 3 = 0$ liefert zwei weitere Lösungen:
$x_{2{,}3}=\pm\sqrt{1{,}5}$
$x_2=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}22$
$x_3=-\sqrt{1{,}5}\approx -1{,}22$
1. Extremum $\left(x=0\right)$
$f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2$
$f\left(0\right)=2$
$f''\left(0\right)=6\cdot0^2-3=-3$
Da $f''\left(0\right)$ kleiner $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt.
$\mathrm{HP}=\left(0\vert2\right)$
2. Extremum $\left(x=\sqrt{1{,}5}\right)$
$f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2$
$f\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78$
$f''\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\sqrt{1{,}5}^4-\frac32\cdot\sqrt{1{,}5}^2-3$
Da $f''\left(0\right)$ größer $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
$\mathrm{TP}=\left(\sqrt{1{,}5}\vert0{,}875\right)$
3. Extremum $\left(x=-\sqrt{1{,}5}\right)$
$f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2$
$f\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78$
$f''\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^2\right)-3$
Da $f''\left(0\right)$ größer $0$ , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
$\mathrm{TP}=\left(-\sqrt{1{,}5}\vert0{,}875\right)$
Wendepunkt
Die Wendepunkte werden berechnet, indem die zweite Ableitung null gesetzt wird.
$f''\left(x\right)=6x^2-3$
$f''\left(x\right)=0$
$6 x^{2} - 3 = 0$
$\Rightarrow x^2=\frac36=\frac12$
$x_{W_1}=\sqrt{\frac12}\approx 0{,}71$
$x_{W_2}=-\sqrt{\frac12}\approx 0{,}71$
y-Koordinaten bestimmen
$f\left(x_{W_1}\right)=f\left(\sqrt{\frac12}\right)$
$f\left(\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\sqrt{\frac12}^4-\frac32\cdot\sqrt{\frac12}^2+2=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38$
$f\left(x_{W_2}\right)=f\left(-\sqrt{\frac12}\right)$
$f\left(-\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^2\right)+2=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38$
Ergebnis
${\mathrm{WP}}_1=\left(\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)$
${\mathrm{WP}}_2=\left(-\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)$
Grenzwertbetrachtung
$D_{f} = R D_f=ℝ$ . Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Grenzwertverhalten der Funktion für $x\rightarrow\pm\infty$ betrachtet werden.
gegen $+\infty$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty$
gegen $-\infty$
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty$
Symmetrie
Da alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:
$f\left(x\right)=f\left(-x\right)$
Durch Ersetzen von $x$ im rechten Funktionsterm mit $- x$ wird überprüft, ob die Funktion eine y-Achsensymmetrie aufweist.
$\frac12x^4-\frac32x^2+2\overset?=\frac12\left(-x\right)^4-\frac32\left(-x\right)^2+2$
$\frac12x^4-\frac32x^2+2=\frac12x^4-\frac32x^2+2$
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
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Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac1{12}\cdot\left(3\mathrm x^4+4\mathrm x^3-12\mathrm x^2\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion $f$ benötigst du die Ableitungen von $f$ .

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Erste Ableitung

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Leite $f$ mithilfe der Ableitungsregeln a.

$f'(x)=\frac{1}{12}\left(12x^3+12x^2-24x\right)$

$\phantom{f'(x)}=x^3+x^2-2x$

Zweite Ableitung

$f^{'} (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x$

Nutze die erste Ableitung von $f (x)$ als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von $f$ zu bestimmen.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

Extrema bestimmmen

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also $f^{'} (x)$ gleich 0.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+x^2-2x$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^2+x-2x\right)$
	↓	Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da $x$ als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.

$\Rightarrow\; x_1=0$

Löse nun die Gleichung $x^{2} + x - 2 x = 0$ .

$\displaystyle x^2+x-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-1\pm3}{2}$

$x_{2} = 1$

$x_{3} = - 2$

1. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

$f(0)=\frac{1}{12}\left(3\cdot0^4+4\cdot0^3-12\cdot0^2\right)$

$\phantom{f(0)}=\frac{1}{12}\left(0+0-0\right)=0$

Untersuche, ob der erste Extrempunkt Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$x$ -Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in $f^{''} (x)$ einsetzen.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$f''(0)=3\cdot0^2+2\cdot0-2=-2$

Da $f^{''} (0) < 0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $(0 ∣ 0)$ einen Hochpunkt .

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{H}\left(0\vert0\right)$

2. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Setze den $x$ -Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f(1)=\frac{1}{12}\left(3\cdot1^4+4\cdot1^3-12\cdot1^2\right)$

$\phantom{f(1)}=\frac{1}{12}\left(3+4-12\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(-5\right)=-\frac{5}{12}$

Untersuche, ob der zweite Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

Setze den $x$ -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in $f^{''} (x)$ ein.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$f''(1)=3\cdot1^2+2\cdot1-2=3$

Da $f''\left(1\right)>0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)$ einen Tiefpunkt.

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{T_1}\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)$

3. Extremum

$f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)$

Setze den $x$ -Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.

$f(-2)=\frac{1}{12}\left(3\cdot(-2)^4+4\cdot(-2)^3-12\cdot(-2)^2\right)$

$\phantom{f(-2)}=\frac{1}{12}\left(48-32-48\right)=\frac{1}{12}\cdot(-32)$

$\phantom{f(-2)}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}$

Untersuche, ob der dritte Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.

$f^{''} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$

$x$ -Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in $f^{''} (x)$ einsetzen.

$f''(-2)=3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2=6$

Da $f''\left(-2\right)>0$ hat $f\left(x\right)$ an der Stelle $\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)$ einen Tiefpunkt .

$\;\;\Rightarrow\;\mathrm{T_2}\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)$

Der Graph von $f$ hat einen Tiefpunkt bei $\mathrm{T_2}\left(-2|-\frac{8}{3}\right)$ , einen Hochpukt bei $\mathrm{H}(0\vert0)$ und einen Tiefpunkt bei $\mathrm{T_1}\left(1|-\frac{5}{12}\right)$ .

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8
Untersuche den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f$ mit $f (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5$ soweit, sodass du ihn zeichnen kannst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ohne Wertetabelle ist es immer geschickt, sich über den Verlauf des Graphens Gedanken zu machen. Hilfreich hierbei sind vor allem erst einmal Nullstellen. Danach schaust du dir das Verhalten der Funktion im Unendlichen an.Um die Nullstellen herauszufinden gibt es zwei Möglichkeiten. Einmal kann man sie bei Polynomen mit einem Grad größer als zwei mit der Polynomdivision herausfinden oder bei dem Grad vier bietet sich auch die Substitution an.
Lösung 1: mit Polynomdivision
1. Schritt: Nullstellen raten
Schaue dir beim raten von Nullstellen die letzte Ziffer ohne ein $x$ an, wie kannst du die $5$ in ein Produkt aufteilen? Zum Beispiel in $1$ und $5$ . Probiere es mit $1$ : Super, eine Nullstelle gefunden!
2. Schritt: Polynomdivision um weitere Nullstellen zu finden
$\displaystyle (-3x^4-2x^2+5):(x-1) = -3x^3-3x^2-5x-5$
$\displaystyle (-3x^3-3x^2-5x-5):(x+1) = -3x^2-5$
$\displaystyle -3x^2-5 = 0$
$\displaystyle -3x^2 = 5$
$\displaystyle x^2 = \frac {5}{-3}$
Jetzt sollte man die Wurzel ziehen um auf das $x$ zu kommen. Dann würde aber etwas negatives unter der Wurzel stehen, dies ist nicht erlaubt. Also gibt es keine weitere Nullstelle.
3. Schritt: Verhalten im Unendlichen
Setze jetzt überall da wo in der Funktion ein $x$ steht ein $\infty$ bzw. $-\infty$ ein und schaue was raus kommt. Allerdings darfst du das nur in Anführungszeichen schreiben, da dies eigentlich keine mathematische Ausdrucksweise ist und somit nur eine inoffizielle Lösung aber eine gute Hilfe um sich das besser vorstellen zu können.
$\displaystyle "f(\infty)=-3\cdot \infty^4-2\cdot \infty^2+5"$
Schaue dir jetzt das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten/Grad an: hier steht ein Minus. Also kommt insgesamt Minus Unendlich raus.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\;=\;-\infty$
$\displaystyle "f(-\infty)=-3\cdot(-\infty)^4-2\cdot(-\infty)^2+5"$
Bei geraden Exponenten wird das Minus in der Klammer wieder zu einem Plus und du kommst auf das selbe Ergebnis.
$\displaystyle \lim_{x\;\rightarrow-\infty}f(x)\:=-\infty$
Der Verlauf ist also "von unten nach unten".
4. Schritt: Symmetrie
Es können drei Fälle eintreten: Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, keine Symmetrie. Ersetze dafür jedes $x$ mit einem $- x$ .
$\displaystyle f(-x)=-3\cdot(-x)^4-2\cdot(-x)^2+5$
Jetzt musst du dir die Exponenten/Potenzen anschauen, hier sind das nur gerade, also fallen unsere Minuszeichen vor den $x$ weg. Damit bist du wieder bei der Funktion gelandet.
$\displaystyle f(-x)=f(x)$
Welche Symmetrie war das? Richtig, die Achsensymmetrie.
5. Schritt: y-Achsen Abschnitt
Um den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
6. Schritt: Graphen zeichnen
Lösung 2: durch Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $z$ ) ersetzt.
$\displaystyle f(x)=-3x^4-2x^2+5$
Ersetze nun jedes $x^{2}$ mit $z$ .
$\displaystyle f(z)=-3z^2-2z+5$
Aus dieser quadratischen Funktion kannst du jetzt die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel ausrechnen.
$z_1=-\frac{5}{3}$ und $z_{2} = 1$
Nun musst du rücksubstituieren.
$\displaystyle z_1=(x_1)^2$
$\displaystyle z_2=(x_2)^2$
Um auf $x_{1}$ und $x_{2}$ zu kommen musst du also die Wurzel aus $z_{1}$ und $z_{2}$ ziehen. Das funktioniert allerdings nur bei $z_{2}$ , da $z_{1}$ negativ ist. Aber Achtung: Nur die Wurzel ziehen ist keine Äquivalenzumformung, deshalb musst du die $\pm\sqrt{z}$ ziehen.
$\displaystyle x_1=1$
$\displaystyle x_2=-1$
So bist du wieder bei den Nullstellen von oben angekommen und kannst bei Schritt 3: Verhalten im Unendlichen weiter machen.
Überlege dir, was du alles benötigst, um den Graphen zeichnen zu können:
Nullstellen
Verhalten im Unendlichen
Symmetrie
y-Achsen Abschnitt
9
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:
1. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was macht das Minus vor dem x und was macht die 3 da. Das Minus öffnet die Parabel nach unten und die 3 macht die Parabel schmaler. Wenn du jetzt noch zwei x-Werte einsetzt kannst du die Funktion gut zeichnen.
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2. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac13\mathrm x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Der Faktor $\frac{1}{3}$ ist kleiner als 1 und macht die Parabel damit breiter.
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3. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=4\mathrm x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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4. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm x^2-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was die 2 für Auswirkungen auf die Funktion hat. Richtig, in diesem Fall steht das $b$ in $a x^{2} + b$ für die Verschiebung entlang der y-Achse, hier in die negative Richtung wegen dem Minus. Ansonsten ist $x^{2}$ die Normalparabel.
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5. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x^2-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Hier steht nur vor dem $x^{2}$ noch der Faktor $\frac{1}{2}$ . Dieser öffnet die Parabel weiter.
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6. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x^2+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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7. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x^2+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was das Minus vor dem $x$ macht. Außerdem haben wir eine Verschiebung um plus $4$ in die y-Richtung.
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8. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x^2+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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9. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac{1}{10}\mathrm x^2+1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
  Überlege dir, was die $\frac{1}{10}$ für Auswirkungen auf die Funktion hat.
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10. $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm x^2+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
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10
Skizziere den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f$ mit $f (x) = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5$ nur durch Überlegung und ohne Wertetabelle.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktion
Zuerst wird die Funktion in die einzelnen Terme aufgeteilt.

Betrachte $- 3 x^{4}$ . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach unten geöffnete Polynomfunktion vierten Grades vorliegt. Diese ist durch den Faktor 3 relativ schmal. Da hier der höchste Exponent der Funktion vorliegt, sieht die Funktion nach außen betrachtet aus, wie eine Funktion vierten Grades.
Betrachte $+ 2 x^{2}$ . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach oben geöffnete Parabel vorliegt, die durch den Faktor 2 ebenfalls etwas schmaler wird. Da hier der kleinste Exponent vorliegt, sieht die Funktion bei kleinen x-Werten, also in der Umgebung von Null, so aus wie eine Parabel.
Betrachte $+ 5$ .
Hier liegt keine Verknüpfung mit einem $x$ vor, deswegen ist die 5 die Verschiebung auf der y-Achse, und zwar in die positive Richtung.
Es liegen also nur gerade Exponenten vor. Dies sagt dir, dass der Graph symmetrisch ist.
Die Terme wieder zusammen in der Funktion ergibt dann das:
Überlege dir zuerst, was die Vorzeichen für Auswirkungen auf die Funktion haben. Wo hast du Potenzen, welchen Grad haben diese? Welcher y-Achsen-Abschnitt liegt vor?

Bestimme die Nullstellen:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

$f (x) = x^{6} - x^{4}$

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4x^2-\frac{1}{3}x+2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $\ -4x+8$ gemeinsam?
$-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $\ -2\cdot(2x-4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f(x) = (2x-4)\cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)$
Löse innere Klammer auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4$
Teile durch $2$
$2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $\ (4x^2-\frac{1}{3}x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x\cdot(4x-\frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4x-\frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4x-\frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4x-\frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4$
Erhalte die Nullstelle
$x_3 = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_3=\frac1{12}$ .
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Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8$

$f(1)\neq0$

Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.

$f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Wende hier die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm5}{2\cdot 1}$

Du erhältst die beiden Nullstellen:

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$ und:

$x_3=\dfrac{-6}{2}=-3$

Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

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13
Interaktive Aufgaben zum Verlauf von Polynomfunktionen auf KMap ..
14
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 2 x^{6} - 3 x^{5} + x^{2} - 10$ .
1. Begründe, warum die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Die Funktion $f$ ist nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, da ein Exponent $\left(5\right)$ ungerade ist, aber alle anderen Exponenten gerade sind.
  Überprüfung:
  Wenn $f$ achsensymmetrisch ist, muss $f (x) = f (- x)$ sein.
  $f(-x)=2(-x)^6-3(-x)^5+(-x)^2-10\\\phantom{f(-x)} =2x^6+3x^5+x^2-10\\\phantom{f(-x)}\neq f(x)$
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2. Verändere die Funktionsgleichung an möglichst wenig Stellen um eine zur y-Achse symmetrische Funktion zu bekommen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Man muss nur den Exponenten $5$ zu einer geraden Zahl abändern.
  Mögliche Lösung: $f (x) = 2 x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - 10$
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Es ist die Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ gegeben.

Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von $G_{f}$ . Zeichne $G_{f}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme zuerst die Nullstellen von $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ , indem du die Funktion gleich 0 setzt:

\displaystyle 0=x^3-3x-2

Die erste Nullstelle muss erraten werden. Durch ausprobieren ermittelt man beispielsweise $x_{1} = - 1$

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;\left(x^3\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3x-2\right):\left(x+1\right)=x^2-x-2\\\underline{-\left(x^3+x^2\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-3x\\\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-x^2-x\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-2x-2\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die berechnete Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-x-2$
	↓	Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1-\left(-8\right)}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm3}{2}$

$x_2=\dfrac42=2;\;x_3=\dfrac{-2}2=-1$

Die Funktion hat demnach eine einfache Nullstelle bei $x_{2} = 2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}3}=-1$ .

Ableiten

Leite die Funktion zweimal ab.

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

$f^{''} (x) = 6 x$

Extrema bestimmen

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f'\left(x\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x^2-3$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 3x^2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle x^2$

$x_1=1;\;x_2=-1$

Extremum bei $x_{1} = 1$ :

Setze $x_{1}$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot 1-2=-4$

Setze $x_{1}$ in $f^{''} (x) = 6 x$ ein:

$f''(x)=6\cdot1=6$

Da $f^{''} (1) > 0$ hat $f\left(x\right)$ in $TP\left(1|-4\right)$ einen Tiefpunkt.

Extremum bei $x_{2} = - 1$ :

Setze $x_{2}$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein.

$f(-1)=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)-2=-1+3-2=0$

Setze $x_{2}$ in $f^{''} (x) = 6 x$ ein:

$f''(x)=6\cdot\left(-1\right)=-6$

Da $f^{''} (- 1) < 0$ hat $f\left(x\right)$ in $H P (- 1 ∣ 0)$ einen Hochpunkt.

Wendepunkte bestimmen

Bestimme nun noch die Wendepunkte. Setze dazu $f^{''} (x) = 6 x$ gleich 0.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Setze $x = 0$ in $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ein:

$f(0)=0^3-3\cdot 0-2=-2$

Da $f'''(x)=6\neq 0$ ist, gibt es einen Wendepunkt:

Der Wendepunkt lautet $W P (0 ∣ - 2)$ .

Graph der Funktion

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Berechne die Gleichungen der Tangente $t$ und Normale $n$ im Wendepunkt.

Tangente aufstellen

Stelle die Tangente im Wendepunkt $W P (0 ∣ - 2)$ auf.

Setze den x-Wert des Wendepunkts, also $0$ , in $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ ein:

$f'(0)=3\cdot 0^2-3=-3$

$- 3$ ist die Steigung $m$ der Tangente. Setze das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ ein, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	$m = - 3$ einsetzen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -3x+t$
	↓	Setze $W P (0 ∣ - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow\ x=0$ und $y = - 2$ .
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -3\cdot0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Mit $t$ und $m$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.

Die Gleichung der Tangente lautet t: $y = - 3 x - 2$

Normale aufstellen

Stelle die Normalengleichung $n$ auf. Für die Steigung der Normalen $m_{n}$ und die Steigung der Tangenten $m_{t} = - 3$ gilt:

$\displaystyle m_t\cdot m_n$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_{t} = - 3$
$\displaystyle -3\cdot m_n$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle m_n$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

Das bestimmte $m_{n}$ und die Koordinaten des Wendepunkts kannst du in die allgemeinen Geradengleichung einsetzen, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle m_n\cdot x+t$
	↓	$m_n=\frac{1}{3}$ einsetzen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x+t$
	↓	Setze $W P (0 ∣ - 2)$ in die Gleichung ein. $\Rightarrow\ x=0$ und $y = - 2$ .
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot0+t$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Mit $t$ und $m_{n}$ kannst du die Gleichung der Tangente aufstellen.

Die Gleichung der Normale lautet $n$ : $y=\frac{1}{3}x-2$

Graph der Funktion mit Normale und Tangente

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Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von $G_{f}$ und der Normalen $n$ begrenzt sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt.

Schnittstelle der Funktionen berechnen

Setze beide Funktionen gleich.

$y=\frac{1}{3}x-2$

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-2$	$=$	$\displaystyle x^3-3x-2$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x+2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-\frac{10}{3}x$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^2-\frac{10}{3}\right)$

Die erste Nullstelle ist $x_{1} = 0$ . Um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, muss die Klammer $\left(x^2-\frac{10}{3}\right)=0$ berechnet werden.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-\frac{10}{3}$	$\displaystyle +\frac{10}{3}$
$\displaystyle \frac{10}{3}$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{10}{3}}$

Integral aufstellen

Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.

$A=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)\right)\mathrm{dx}\right|+\left|\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)\right)\mathrm{dx}\right|$

Vereinfache zuerst den Integranden:

$\displaystyle \left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac{1}{3}x-2\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-3x-2-\frac13x+2$
	$=$	$\displaystyle x^3-\frac{10}{3}x$

Integriere $\displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$ und dann $\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$

$\displaystyle \displaystyle\int_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_{-\sqrt{\frac{10}{3}}}^0$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{5}{3}\cdot0^2\right)-\left(\frac{1}{4}\left(-\sqrt{\frac{10}{3}}\right)^4-\frac{5}{3}\left(-\sqrt{\frac{10}{3}}\right)^2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{5}{3}\cdot\frac{10}{3}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{25}{9}-\frac{50}{9}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{9}$

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{10}{3}}}\left(x^3-\frac{10}{3}x\right)\mathrm{\ dx}$	$=$	$\displaystyle \left[\frac14x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_0^{\sqrt{\frac{10}3}}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{10}{3}}^4-\frac{5}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}^2\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{5}{3}\cdot0^2\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{5}{3}\cdot\frac{10}{3}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{9}-\frac{50}{9}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{25}{9}$

Die gesuchte Fläche hat den Flächeninhalt $\frac{50}9\approx5{,}56950≈5{,}57$ Flächeneinheiten.

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$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$\displaystyle x_1^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \left(0-2\right)^2-1$
	$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2-1$
	$=$	$\displaystyle 4-1$
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2-3x$
	↓	Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2-3x$
	↓	Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+2x-3\right)$

$\displaystyle x^2+2x-3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm4}{2}$

$\displaystyle g\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0^3+2\cdot0^2-3\cdot0$
	$=$	$\displaystyle 0+0-0$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle h\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot0^4-8$
	$=$	$\displaystyle 0-8$
	$=$	$\displaystyle -8$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\ 3u\ +\ 2\ =\ 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}2$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle \frac12 x$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4\cdot\left(x^2-1\right)$

Aufgaben zur Polynomfunktion

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Erste Variante:

Zweite Variante (etwas fortgeschrittener):

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Was solltest Du über (1−x2)2(1-x^2)^2(1−x2)2 zu wissen?

Weiter geht's mit hhh

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Graph A

Graph B

Graph C

Graph D

Graph E

Graph F

Zusammenfassung:

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Substitution

Resubstitution

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞+\infty+∞

gegen −∞-\infty−∞

Wertemenge bestimmen

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞+\infty+∞

gegen −∞-\infty−∞

Wertemenge bestimmen

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ausklammern

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞+\infty+∞

gegen −∞-\infty−∞

Wertemenge bestimmen

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞+\infty+∞

gegen −∞-\infty−∞

Wertemenge bestimmen

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Definitionsbereich festlegen

Polynomdivision

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Ableitungen

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Extrema bestimmen

Was solltest Du über $(1 - x^{2})^{2}$ zu wissen?

Weiter geht's mit $h$

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

Wendepunkt $x=\frac13$

Bestimme die $x$ -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:

gegen $+\infty$ :

gegen $-\infty$ :

1. Extremum $\left(x=0\right)$

2. Extremum $\left(x=\sqrt{1{,}5}\right)$

3. Extremum $\left(x=-\sqrt{1{,}5}\right)$

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-1\right)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+1)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm4}{2}$