Aufgaben zur Polynomfunktion - lernen mit Serlo!

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

$f (x) = x^{6} - x^{4}$

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4x^2-\frac{1}{3}x+2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $\ -4x+8$ gemeinsam?
$-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $\ -2\cdot(2x-4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f(x) = (2x-4)\cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)$
Löse innere Klammer auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4$
Teile durch $2$
$2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $\ (4x^2-\frac{1}{3}x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x\cdot(4x-\frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4x-\frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4x-\frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4x-\frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4$
Erhalte die Nullstelle
$x_3 = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_3=\frac1{12}$ .
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Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8$

$f(1)\neq0$

Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.

$f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Wende hier die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm5}{2\cdot 1}$

Du erhältst die beiden Nullstellen:

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$ und:

$x_3=\dfrac{-6}{2}=-3$

Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle \frac12 x$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Wende die 2. Binomische Formel an.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-3)\cdot(x-3)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4\cdot\left(x^2-1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-1\right)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+1)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm4}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{5}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm 1$

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Resubstitution

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Ersetze den "schlimmen Teil"

Nullstellen des linken Faktors

Nullstellen des rechten Faktors

Und die Nullstellen von fff lauten…

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Und die Nullstellen von $f$ lauten…