Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:

$x_1=0$

Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:

$(x^2+3x-4)=0$

Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:

$x_{\mathrm{2,3}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}$

Du erhältst also die beiden Nullstellen:

$x_2={\displaystyle \frac{-3+5}{2}}=1$

und:

$x_3={\displaystyle \frac{-3-5}{2}}=-4$

Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei $x_1=0,x_2=1$ und $x_3=-4$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:

$x_1=0$

Das ist eine doppelte Nullstelle, da $x^2$ in der Faktordarstellung vorkommt.

Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:

$(x^2+2x+1)=0$

Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:

${(x+1)}^2=0$

$x_2=-1$ ist also auch eine doppelte Nullstelle.

Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei $x_1=0$ und $x_2=-1$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=(x^2-25)\cdot (\frac{1}{2}x+4)$

Setze die Funktion gleich 0:

$0=(x^2-25)\cdot (\frac{1}{2}x+4)$

Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 5$

Setze als nächstes die zweite Klammer $0$.

$\Rightarrow x_3=-8$

Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei $x_1=5,x_2=-5$ und $x_3=-8$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei $x=3$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:

$x_1=0$

Das ist eine vierfache Nullstelle, da $x^4$ in der Faktordarstellung vorkommt.

Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:

$\Rightarrow x_{\mathrm{2,3}}=\pm 1$

Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei $x_1=0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_2=1$ und $x_3=-1$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=x^4-6x^2+5$

Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du $x$ nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$) durch einen neuen Term (z.B. $u$) ersetzt.

$u=x^2$

Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:

Du erhältst also die beiden Nullstellen:

$u_1={\displaystyle \frac{6+4}{2}}=5$ und:

$u_2={\displaystyle \frac{6-4}{2}}=1$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

Und noch für $u_2$:

Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei $x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5},x_3=1$ und $x_4=-1$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=(2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$

Ersetze den "schlimmen Teil"

Den Term $(4x^2-\frac{1}{3}x+2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$:

$f(x)=(2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $-4x+8$

Was haben die Terme $(2x-4)$ und$-4x+8$ gemeinsam?

$-4x+8=(-2)\cdot (2x-4)$

Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein

$f(x)=(2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $-2\cdot (2x-4)$

Klammere $(2x-4)$ aus

$f(x)=(2x-4)\cdot$ $($schlimmer Teil $-2)$

Setze den "schlimmen Teil" ein

$f(x)=(2x-4)\cdot ((4x^2-\frac{1}{3}x+2)-2)$

Löse innere Klammer auf

$f(x)=(2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-2)$

$-2$ und $+2$ heben sich gegenseitig auf

$f(x)=(2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)$

$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.

Nullstellen des linken Faktors

Setze $(2x-4)$ gleich Null

$2x-4=0$

Bringe die $4$ auf die andere Seite

$2x-4=0|+4$

Teile durch $2$

$2x=4|:2$

Erhalte die Nullstelle

$x_1=2$

Nullstellen des rechten Faktors

Setze $(4x^2-\frac{1}{3}x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x\cdot (4x-\frac{1}{3})$

Dort lesen wir die Nullstelle $x_2=0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4x-\frac{1}{3})$. Diese berechnen wir, indem wir $4x-\frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.

$4x-\frac{1}{3}=0$

Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite

$4x-\frac{1}{3}=0|+\frac{1}{3}$

Teile durch 4

$4x=\frac{1}{3}|:4$

Erhalte die Nullstelle

$x_3=\frac{1}{12}$

Und die Nullstellen von $f$ lauten…

Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$. Sie lauten $x_1=2,x_2=0$ und $x_3=\frac{1}{12}$.

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3+2\cdot 1^2-5\cdot 1-6=-8$

$f(1)\ne 0$

Setze als nächstes z.B. $-1$ in $f(x)$ ein.

$f(-1)=(-1{)}^3+2\cdot (-1{)}^2-5\cdot (-1)-6=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=-1$ eine Nullstelle. Da $f(-1)=0$, wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x+1)$ durch.

$\begin{array}{c}(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ x^2-5x\\ \underline{-(x^2+x)}\\ -6x-6\\ \underline{-(-6x-6)}\\ 0\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=-1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2+x-6=0$

Wende hier die Mitternachtsformel an.

Du erhältst die beiden Nullstellen:

$x_2={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ und:

$x_3={\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3$

Die Funktion $f(x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_1=-1$, $x_2=2$ und $x_3=-3$.