Substitution

Als Substitution bezeichnet man das Ersetzen eines Terms durch einen neuen Term, z. B.:

$\begin{array}{l} \sin (2 x + 1) = 4 \\ \Rightarrow \sin (z) = 4 \end{array}$

Die Substitution wird verwendet, um Terme zu vereinfach und Lösungsmethoden zu ermöglichen. Nach einer Substitution sind Terme oder Gleichungen so geformt, dass z. B. die Mitternachtsformel, eine Umkehrfunktion oder eine Integralrechenregel angewendet werden kann, es gibt ganz verschiedene Anwendungsbereiche.

Als Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet man das Rückgängigmachen dieses Vorgangs, z. B. ist zur Substitution

t : = x + 1

die Rücksubstitution gegeben durch:

x : = t - 1

Dies ist die umgeformte Gleichung, die durch die Substitution gegeben ist. Die Rücksubstitution ist notwendig, da die Lösung zur ursprünglichen Variable gesucht ist.

Beispiel

Gegeben ist die biquadratische Gleichung:

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^{2}$ durch $z$ ersetzt (substituiert).

Da $x^{4} = {(x^{2})}^{2}$ ist, wird $x^{4}$ durch die Substitution zu $z^{2}$ .

z^{2} - 3 z + 2 = 0

Bestimme die Lösungen der Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta.

z_{1} = 1, z_{2} = 2

Resubstitution: $x = \pm \sqrt{z}$

Da wir $x^{2} = z$ (also $x = \pm \sqrt{z}$ ⁣) gesetzt hatten, können wir die vier Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmen:

\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{1} = 1 \\ x_{2} = - \sqrt{1} = - 1 \\ x_{3} = \sqrt{2} \\ x_{4} = - \sqrt{2} \end{array}

Beispiel für trigonometrische Gleichungen

Beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen, wie $\sin (2 x - 3) = 1$ werden im Schulunterricht oft Substitutionen verwendet. Der Vorteil hierbei ist, bestimmt man alle Lösungen, kommen die Lösungsformeln der trigonometrischen Gleichungen zum Einsatz:

\begin{array}{ll} x_{1, k} = x_{1} + 2 π \cdot k \\ x_{2, k} = (π - x_{1}) + 2 π \cdot k \end{array}

Werden die Lösungen berechnet (durch Anwenden einer Umkehrfunktion o. Ä.) und die Lösungsformeln erst zum Schluss verwendet, hat man im Allgemeinen mit einer falschen Periode gerechnet und nicht die richtigen Lösungen bestimmt. Eine Substitution hilft hierbei, wie das Beispiel zeigt.

Fehlerhaftes Beispiel	Richtiges Beispiel
$\sin (2 x - 3) = 0,5$	$\sin (2 x - 3) = 0,5; z = 2 x - 3$
	$\sin (z) = 0,5$
Anwenden von $\arcsin$ formt die Gleichung um.	Anwenden von $\arcsin$ formt die Gleichung um.
$2 x - 3 = \arcsin (0,5)$	$z = \arcsin (0,5)$
$2 x - 3 = \frac{π}{6}$ $x = \frac{π + 18}{12}$	$z = \frac{π}{6}$
Anwenden der Lösungsformel ergibt alle Lösungen (für $k \in ℤ$ ):	Anwenden der Lösungsformel ergibt alle Lösungen (für $k \in ℤ$ ):
$x_{1, k} = \frac{π + 18}{12} + 2 π \cdot k$ $x_{2, k} = (π - \frac{π + 18}{12}) + 2 π \cdot k$ $= \frac{11 π + 18}{12} + 2 π \cdot k$	$z_{1, k} = \frac{π}{6} + 2 π \cdot k$ $z_{2, k} = (π - \frac{π}{6}) + 2 π \cdot k$ $= \frac{5 π}{6} + 2 π \cdot k$

Die Rücksubstitution für $z$ erfolgt durch die Beziehung $z = 2 x - 3$ . Das war unsere Substitution und wird nun wieder für $z$ eingesetzt.

$2 x_{1, k} - 3$	$=$	$\frac{π}{6} + 2 π \cdot k$	$+ 3$
	↓	$3 = \frac{18}{6}$
$2 x_{1, k}$	$=$	$\frac{π + 18}{6} + 2 π \cdot k$	$: 2$
$x_{1, k}$	$=$	$\frac{π + 18}{12} + π \cdot k$

Genauso folgt für $z_{2, k}$ mit der Rücksubstitution:

$2 x_{2, k} - 3$	$=$	$\frac{5 π}{6} + 2 π \cdot k$	$+ 3$
	↓	$3 = \frac{18}{6}$
	$=$	$\frac{5 π + 18}{6} + 2 π \cdot k$	$: 2$
	$=$	$\frac{5 π + 18}{12} + π \cdot k$

Die Lösung unterscheidet sich maßgeblich. Grund dafür ist, dass im linken Fall die falsche Periode für eine andere Lösungsstelle, sowie Periodizität sorgt. In der rechten Rechnung wurde diese berichtigt durch das Teilen durch $2$ etc. Man könnte dieses Problem dadurch lösen, dass die Lösungsformel direkt nach Anwenden der Umkehrfunktion verwendet wird, eine Substitution löst das jedoch strukturiert und es verlangt weniger Hintergrundwissen.

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