Substitution

Als Substitution bezeichnet man, wenn in einem Term ein Teil (zum Beispiel das x2x^2 in 3x2+23x^2+2) durch einen neuen Term (z. B. zz) ersetzt wird. In vielen Fällen kann man durch eine Substitution ein Problem vereinfachen, weil nach dem Ersetzen ein Verfahren wie z. B. die Mitternachtsformel angewendet werden kann.

Als Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet man das Rückgängigmachen dieses Vorgangs. Hat man z. B. in einem Term xx durch t1t-1 substituiert, so ist die Substitution von tt durch x+1x+1 die Rücksubstitution (die Gleichung x=t1x=t-1 kann man zu  t=x+1t=x+1 umformen)

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man x2x^2 durch zz ersetzt (substituiert).

Da x4=(x2)2x^4=\left(x^2\right)^2 ist, wird x4x^4 durch die Substitution zu z2z^2

Bestimme die Lösungen der Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta .

z1=1z_1=1   und  z2=2z_2=2

Resubstitution: x=±zx=\pm\sqrt{z}

Da wir x2=zx^2=z (also x=±zx=\pm\sqrt z ) gesetzt hatten, können wir die vier Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmen:


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