Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

1

Bei welchen der folgenden Funktionen kann man das Substitutionsverfahren anwenden?

Klicke auf die richtigen Funktionen.
- $g (x) = 2 x^{4} + 2 x^{2} - 24$
- $l (x) = 3 x^{8} + 3 x^{4} - 6$
- $f (x) = 4 x^{3} + 2 x + 1$
- $h (x) = 4 x^{8} - 4 x^{6} + 1$
- $k (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren
Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.
Richtige Antwortmöglichkeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $g (x)$ und $l (x)$ .
Bei $g (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 24$ hast du die Exponenten $4$ und $2$ . Da $4$ das Doppelte von $2$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$g (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 24 = 2 {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 24$
Setze $u = x^{2}$ ,
dann folgt $g (u) = 2 u^{2} - 4 u - 24$ .
Bei $l (x) = 3 x^{8} + 3 x^{4} - 6$ hast du die Exponenten $8$ und $4$ . Da $8$ das Doppelte von $4$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$l (x) = 3 x^{8} + 3 x^{4} - 6 = 3 {(x^{4})}^{2} + 3 x^{4} - 6$
Setze $u = x^{4}$ ,
dann folgt $l (u) = 3 u^{2} + 3 u - 6$ .
Falsche Antwortmöglickeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $f (x)$ , $h (x)$ und $k (x)$ .
Bei $f (x) = 4 x^{3} + 2 x + 1$ hast du die Exponenten $3$ und $1$ . (Die $1$ kommt von $2 x = 2 x^{1}$ .) Da $3$ nicht das Doppelte von $1$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
Bei $h (x) = 4 x^{8} - 4 x^{6} + 1$ hast du die Exponenten $8$ und $6$ . Da $8$ nicht das Doppelte von $6$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.
Bei $k (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 7$ kannst du die Substitution auch nicht anwenden, da die Exponenten jeweils um $1$ größer werden und sich somit nicht immer verdoppeln.
Zusammenfassung
Insgesamt kannst du also bei $g (x)$ und $l (x)$ die Substitution anwenden und bei $f (x)$ , $h (x)$ und $l (x)$ nicht.
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Klicke auf die richtigen Funktionen.
- $f (z) = z^{4} + z^{2} - 12$
- $g (a) = a^{10} - a^{5} + 1$
- $k (u) = \frac{1}{4} u^{6} - \frac{1}{2} u^{3} + 4$
- $h (x) = 4 x^{5} - 2 x^{3} + 1$
- $l (s) = s^{4} + 3 s^{3} + 3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren
Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.
Richtige Antwortmöglichkeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $f (z)$ , $g (a)$ und $k (u)$ .
Bei $f (z) = z^{4} + z^{2} - 12$ hast du die Exponenten $4$ und $2$ . Da $4$ das Doppelte von $2$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$f (z) = z^{4} + z^{2} - 12 = {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 12$
Setze $u = z^{2}$ ,
dann folgt $f (u) = u^{2} + u - 12$ .
Bei $g (a) = a^{10} - a^{5} + 1$ hast du die Exponenten $10$ und $5$ . Da $10$ das Doppelte von $5$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$g (a) = a^{10} - a^{5} + 1 = {(a^{5})}^{2} - a^{5} + 1$
Setze $u = a^{5}$ ,
dann folgt $g (u) = u^{2} - u + 1$ .
Bei $k (u) = \frac{1}{4} u^{6} - \frac{1}{2} u^{3} + 4$ hast du die Exponenten $6$ und $3$ . Da $6$ das Doppelte von $3$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$k (u) = \frac{1}{4} u^{6} - \frac{1}{2} u^{3} + 4 = \frac{1}{4} {(u^{3})}^{2} - \frac{1}{2} u^{3} + 4$
Setze $x = u^{3}$ ,
dann folgt $k (x) = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 4$ .
Falsche Antwortmöglickeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $h (x)$ und $l (s)$ .
Bei $h (x) = 4 x^{5} - 2 x^{3} + 1$ hast du die Exponenten $5$ und $3$ . Da $5$ nicht das Doppelte von $3$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
Bei $l (s) = s^{4} + 3 s^{3} + 3$ hast du die Exponenten $4$ und $3$ . Da $4$ nicht das Doppelte von $3$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.
Zusammenfassung
Insgesamt kannst du also bei $f (z)$ , $g (a)$ und $k (u)$ die Substitution anwenden und bei $h (x)$ und $l (s)$ nicht.
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2

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$g (x) = 2 x^{4} - 34 x^{2} + 32$

$h (u) = - u^{4} + 24 u^{2} + 25$

$i (x) = x^{6} + \frac{37}{8} x^{3} - 27$

$k (x) = x^{6} + 5 x^{3} - 36$

$l (x) = x^{8} - 18 x^{4} + 32$

3

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$

$g (x) = x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$

$h (u) = u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$

$k (z) = 2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$

4

Finde und begründe den Fehler bei den folgenden Nullstellenbestimmungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 8$
Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von $f (x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.
Die angegebenen Nullstellen $2$ und $4$ sind allerdings nicht die Nullstellen von $f (x)$ , sondern die Nullstellen der substituierten Funktion $f (u) = u^{2} - 6 u + 8$ .
Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich $x^{2} = u$ gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus $2$ und $4$ gezogen werden.
Somit hat $f (x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1,2} = \pm \sqrt{2}$
$x_{3,4} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 27$
Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von $g (x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.
Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.
Grund: Bei der Resubstitution werden $s_{1}$ sowie $s_{2}$ radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.
Somit hat $g (x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1,2} = \pm \sqrt{9} = \pm 3$
$x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$
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5

Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} - 9$ nur zwei Nullstellen besitzt.

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Radizieren.
$u_{2}$	$=$	$1$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

$g (x)$	$=$	$2 x^{4} - 34 x^{2} + 32$
	↓	In $g (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $g (u)$ erhält.
$g (u)$	$=$	$2 u^{2} - 34 u + 32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 32}}{2 \cdot 2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{1156 - 256}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{900}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{34 \pm 30}{4}$

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 4$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Radizieren.
$u_{2}$	$=$	$1$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

$h (u)$	$=$	$- u^{4} + 24 u^{2} + 25$
	↓	In $h (u)$ wird $u^{2}$ durch $x$ ersetzt, wodurch man die Funktion $h (x)$ erhält.
$h (x)$	$=$	$- x^{2} + 24 x + 25$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 25}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{676}}{- 2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 24 \pm 26}{- 2}$

$u_{1,2}^{2}$	$=$	$x_{1}$
	↓	Radizieren. Für $\sqrt{- 1}$ gibt es keine reelle Lösung.
$u_{3,4}^{2}$	$=$	$x_{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{2}$	$=$	$25$

$i (x)$	$=$	$x^{6} + \frac{37}{8} x^{3} - 27$
	↓	In $i (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $i (u)$ erhält.
$i (u)$	$=$	$u^{2} + \frac{37}{8} u - 27$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \sqrt{{(- \frac{37}{8})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \sqrt{\frac{8281}{64}}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \frac{91}{8}}{2}$

$x_{1}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$3,375$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt[3]{3,375}$
$\sqrt[3]{3,375}$	$=$	$1,5$
$x_{2}^{3}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{2}$	$=$	$- 8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt[3]{8}$
$- \sqrt[3]{8}$	$=$	$- 2$

$k (x)$	$=$	$x^{6} + 5 x^{3} - 36$
	↓	In $k (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $k (u)$ erhält.
$k (u)$	$=$	$u^{2} + 5 u - 36$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 5 \pm 13}{2}$

$l (x)$	$=$	$x^{8} - 18 x^{4} + 32$
	↓	In $l (x)$ wird $x^{4}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $l (u)$ erhält.
$l (u)$	$=$	$u^{2} - 18 u + 32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{3} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{324 - 128}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{196}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{18 \pm 14}{2}$

$x_{1,2}^{4}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{4}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$2$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \sqrt[4]{2}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$\frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$x \cdot (\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8)$
$x_{1}$	$=$	$0$
$(\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

$\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8$	$=$	$0$
	↓	$x 2$ wird durch uuu ersetzt.
$\frac{1}{4} u^{2} - 3 u + 8$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 8}}{2 \cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{0,5}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{1}}{0,5}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_{2,3}^{2}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$8$
	↓	Radizieren.
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{8}$
	$=$	$\pm 2 \sqrt{2}$
$x_{4,5}^{2}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$4$
	↓	Radizieren.
$x_{4,5}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
	$=$	$\pm 2$

$g (x)$	$=$	$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$x \cdot (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$
$x_{1}$	$=$	$0$
$(x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

$x^{6} - 7 x^{3} - 8$	$=$	$0$
	↓	$ x 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$u^{2} - 7 u$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{7 \pm 9}{2}$

$h (u)$	$=$	$u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$
	↓	$u$ ausklammern.
	$=$	$u \cdot (u^{4} - 13 u^{2} + 36)$
$u_{1}$	$=$	$0$
$(u^{4} - 13 u^{2} + 36)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

$u^{4} - 13 u^{2} + 36$	$=$	$0$
	↓	$u^{2}$ wird durch $x$ ersetzt.
$x^{2} - 13 x + 36$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_{2,3}^{2}$	$=$	$x_{1}$
	↓	Radizieren.
$x_{1}$	$=$	$9$
$u_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{9}$
$\pm \sqrt{9}$	$=$	$\pm 3$
$u_{4,5}^{2}$	$=$	$x_{2}$
	↓	Radizieren.
$x_{2}$	$=$	$4$
$u_{4,5}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
$\pm \sqrt{4}$	$=$	$\pm 2$

$k (z)$	$=$	$2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$
	↓	$z$ ausklammern.
	$=$	$z \cdot (2 z^{6} + 14 z^{3} - 16)$
$z_{1}$	$=$	$0$
$(2 z^{6} - 14 z^{3} - 16)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

$2 z^{6} - 14 z^{3} - 16$	$=$	$0$
	↓	$z 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$2 u^{2} + 14 u - 16$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 128}}{4}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{324}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 14 \pm 18}{4}$

$z_{2}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$1$
$z_{2}$	$=$	$\sqrt[3]{1}$
$\sqrt[3]{1}$	$=$	$1$
$z_{3}^{3}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$- 8$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$z_{3}$	$=$	$- \sqrt[3]{8}$
$- \sqrt[3]{8}$	$=$	$- 2$

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 8 x^{2} - 9$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 8 u - 9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{100}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{8 \pm 10}{2}$
$u_{1}$	$=$	$9$
	↓	Fall 1: $+$
$u_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	Fall 2: $-$

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