Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

1

Bei welchen der folgenden Funktionen kann man das Substitutionsverfahren anwenden?

Klicke auf die richtigen Funktionen.
- $g(x)=2x^4+2x^2-24$
- $l(x)=3x^8+3x^4-6$
- $f(x)=4x^3+2x+1$
- $h(x)=4x^8-4x^6+1$
- $k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren
Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.
Richtige Antwortmöglichkeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $g(x)$ und $l(x)$ .
Bei $g(x)=2x^{\color{#ff6600}{4}}-4x^{\color{#009999}{2}}-24$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{4}$ und $\color{#009999}{2}$ . Da $\color{#ff6600}{4}$ das Doppelte von $\color{#009999}{2}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$g(x)=2x^4-4x^2-24=2{(x^2)}^2-4x^2-24$
Setze $u=x^2$ ,
dann folgt $g(u)=2u^2-4u-24$ .
Bei $l(x)=3x^{\color{#ff6600}{8}}+3x^{\color{#009999}{4}}-6$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{8}$ und $\color{#009999}{4}$ . Da $\color{#ff6600}{8}$ das Doppelte von $\color{#009999}{4}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$l(x)=3x^8+3x^4-6=3{(x^4)}^2+3x^4-6$
Setze $u=x^4$ ,
dann folgt $l(u)=3u^2+3u-6$ .
Falsche Antwortmöglickeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $f(x)$ , $h(x)$ und $k(x)$ .
Bei $f(x)=4x^{\color{#ff6600}{3}}+2x+1$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{3}$ und $\color{#009999}{1}$ . (Die $\color{#009999}{1}$ kommt von $2x=2x^{\color{#009999}{1}}$ .) Da $\color{#ff6600}{3}$ nicht das Doppelte von $\color{#009999}{1}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
Bei $h(x)=4x^{\color{#ff6600}{8}}-4x^{\color{#009999}{6}}+1$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{8}$ und $\color{#009999}{6}$ . Da $\color{#ff6600}{8}$ nicht das Doppelte von $\color{#009999}{6}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.
Bei $k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7$ kannst du die Substitution auch nicht anwenden, da die Exponenten jeweils um $1$ größer werden und sich somit nicht immer verdoppeln.
Zusammenfassung
Insgesamt kannst du also bei $g(x)$ und $l(x)$ die Substitution anwenden und bei $f(x)$ , $h(x)$ und $l(x)$ nicht.
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Klicke auf die richtigen Funktionen.
- $f(z)=z^4+z^2-12$
- $g(a)=a^{10}-a^5+1$
- $k(u)=\frac{1}{4}u^6-\frac{1}{2}u^3+4$
- $h(x)=4x^5-2x^3+1$
- $l(s)=s^4+3s^3+3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Substitutionsverfahren
Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.
Richtige Antwortmöglichkeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $f(z)$ , $g(a)$ und $k(u)$ .
Bei $f(z)=z\color{#ff6600}{^4}+z\color{#009999}{^2}-12$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{4}$ und $\color{#009999}{2}$ . Da $\color{#ff6600}{4}$ das Doppelte von $\color{#009999}{2}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$f(z)=z^4+z^2-12={(z^2)}^2+z^2-12$
Setze $u=z^2$ ,
dann folgt $f(u)=u^2+u-12$ .
Bei $g(a)=a^{\color{#ff6600}{10}}-a^{\color{#009999}{5}}+1$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{10}$ und $\color{#009999}{5}$ . Da $\color{#ff6600}{10}$ das Doppelte von $\color{#009999}{5}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$g(a)=a^{10}-a^5+1={(a^5)}^2-a^5+1$
Setze $u=a^5$ ,
dann folgt $g(u)=u^2-u+1$ .
Bei $k(u)=\frac14u^{\color{#ff6600}{6}}-\frac12u^{\color{#009999}{3}}+4$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{6}$ und $\color{#009999}{3}$ . Da $\color{#ff6600}{6}$ das Doppelte von $\color{#009999}{3}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:
$k(u)=\frac14u^6-\frac12u^3+4=\frac14{(u^3)}^2-\frac12u^3+4$
Setze $x=u^3$ ,
dann folgt $k(x)=\frac14x^2-\frac12x+4$ .
Falsche Antwortmöglickeiten
Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $h(x)$ und $l(s)$ .
Bei $h(x)=4x^{\color{#ff6600}{5}}-2x\color{#009999}{^3}+1$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{5}$ und $\color{#009999}{3}$ . Da $\color{#ff6600}{5}$ nicht das Doppelte von $\color{#009999}{3}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.
Bei $l(s)=s^{\color{#ff6600}{4}}+3s^{\color{#009999}{3}}+3$ hast du die Exponenten $\color{#ff6600}{4}$ und $\color{#009999}{3}$ . Da $\color{#ff6600}{4}$ nicht das Doppelte von $\color{#009999}{3}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.
Zusammenfassung
Insgesamt kannst du also bei $f(z)$ , $g(a)$ und $k(u)$ die Substitution anwenden und bei $h(x)$ und $l(s)$ nicht.
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2

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.

$f(x)=x^4-5x^2+4$

$g(x)=2x^4-34x^2+32$

$h(u)=-u^4+24u^2+25$

$i(x)=x^6+\frac{37}{8}x^3-27$

$k(x)=x^6+5x^3-36$

$l(x)=x^8-18x^4+32$

3

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

$f(x)=\frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	$x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle \frac{1}{4}x^4-3x^2+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x2$ wird durch uuu ersetzt.
$\displaystyle \frac{1}{4}u^2-3u+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot\frac{1}{4}\cdot8}}{2\cdot\frac{1}{4}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}{0{,}5}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{1}}{0{,}5}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_1=8$

Fall 1: $+$

$u_2=4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{8}$
	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{2}$
$\displaystyle x_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f(x)$ hat fünf Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=2\sqrt2$ , $x_3=-2\sqrt2$ , $x_4=2$ , $x_5=-2$ .

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$g(x)=x^7-7x^4-8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	$x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^6-7x^3-8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x^6-7x^3-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle x^6-7x^3-8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle u^2-7u$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{81}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm9}{2}$

$u_1=8$

Fall 1: $+$

$u_2=-1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}$
$\displaystyle \sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle -1$

Die Funktion $g(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=2$ , $x_3=-1$ .

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$h(u)=u^5-13u^3+36u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle h\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	$u$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle u\cdot\left(u^4-13u^2+36\right)$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(u^4-13u^2+36\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u^4-13u^2+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$u^2$ wird durch $x$ ersetzt.
$\displaystyle x^2-13x+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{\left(-13\right)^2-4\cdot1\cdot36}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_1=9$

Fall 1: $+$

$x_2=4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle u_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{9}$
$\displaystyle \pm\sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle \pm3$
$\displaystyle u_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle x_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle u_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
$\displaystyle \pm\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $h(u)$ hat fünf Nullstellen bei $u_1=0$ , $u_2=3$ , $u_3=-3$ , $u_4=2$ , $u_5=-2$ .

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$k(z)=2z^7+14z^4-16z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle k\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	$z$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle z\cdot\left(2z^6+14z^3-16\right)$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(2z^6-14z^3-16\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle 2z^6-14z^3-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$z3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle 2u^2+14u-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot2\cdot\left(-16\right)}}{2\cdot2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{196+128}}{4}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{324}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm18}{4}$

$u_1=1$

Fall 1: $+$

$u_2=-8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle z_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{1}$
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -8$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle z_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Funktion $k(z)$ hat drei Nullstellen bei $z_1=0$ , $z_2=1$ , $z_3=-2$ .

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4

Finde und begründe den Fehler bei den folgenden Nullstellenbestimmungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.
$f(x)=x^4-6x^2+8$
Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von $f(x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.
Die angegebenen Nullstellen $2$ und $4$ sind allerdings nicht die Nullstellen von $f(x)$ , sondern die Nullstellen der substituierten Funktion $f(u)=u^2-6u+8$ .
Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich $x^2=u$ gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus $2$ und $4$ gezogen werden.
Somit hat $f(x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt{2}$
$x_{3{,}4}=\pm\sqrt{4}=\pm2$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.
$g(x)=x^4-12x^2+27$
Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von $g(x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.
Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.
Grund: Bei der Resubstitution werden $s_1$ sowie $s_2$ radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.
Somit hat $g(x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt9=\pm3$
$x_{3{,}4}=\pm\sqrt3$
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5

Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion $f(x)=x^4-8x^2-9$ nur zwei Nullstellen besitzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	In $f(x)$ wird $x^2$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f(u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^4-34x^2+32$
	↓	In $g(x)$ wird $x^2$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $g(u)$ erhält.
$\displaystyle g\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 2u^2-34u+32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{\left(-34\right)^2-4\cdot2\cdot32}}{2\cdot2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{1156-256}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{900}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm30}{4}$

$\displaystyle h\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -u^4+24u^2+25$
	↓	In $h(u)$ wird $u^2$ durch $x$ ersetzt, wodurch man die Funktion $h(x)$ erhält.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+24x+25$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot25}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{576+100}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{676}}{-2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm26}{-2}$

$\displaystyle u_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Radizieren. Für $\sqrt{-1}$ gibt es keine reelle Lösung.
$\displaystyle u_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle x_2$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 25$

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^6+\frac{37}{8}x^3-27$
	↓	In $i(x)$ wird $x^3$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $i(u)$ erhält.
$\displaystyle i\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2+\frac{37}{8}u-27$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\sqrt{\left(-\frac{37}{8}\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-27\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\sqrt{\frac{8281}{64}}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\frac{91}{8}}{2}$

$\displaystyle x_1^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 3{,}375$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{3{,}375}$
$\displaystyle \sqrt[3]{3{,}375}$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$
$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^6+5x^3-36$
	↓	In $k(x)$ wird $x^3$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $k(u)$ erhält.
$\displaystyle k\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2+5u-36$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot\left(-36\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{169}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm13}{2}$

$\displaystyle l\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^8-18x^4+32$
	↓	In $l(x)$ wird $x^4$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $l(u)$ erhält.
$\displaystyle l\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-18u+32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{\left(-18\right)^3-4\cdot1\cdot32}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{324-128}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{196}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm14}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}^4$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^4$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt[4]{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-8x^2-9$
	↓	In $f(x)$ wird $x^2$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f(u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-8u-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-9\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{100}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm10}{2}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fall 1: $+$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Fall 2: $-$

Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

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