Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.
f(x)=x4â5x2+4
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
f(x) = x4â5x2+4 â In f(x) wird x2 durch u ersetzt, wodurch man die Funktion f(u) erhĂ€lt.
f(u) = u2â5u+4 â Mitternachtsformel anwenden.
u1,2â = 2â 15±(â5)2â4â 1â 4ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 25±25â16ââ â Unter der Wurzel subtrahieren.
= 25±9ââ â Wurzel ziehen.
u1â=4
Fall 1: +
u2â=1
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
x1,22â = u1â u1â = 4 â Wurzel ziehen.
x1,2â = ±2 x3,42â = u2â â u2â = 1 x3,4â = ±1 Die Funktion f(x) hat vier Nullstellen bei x1â=2, x2â=â2, x3â=1, x4â=â1 .
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g(x)=2x4â34x2+32
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
g(x) = 2x4â34x2+32 â In g(x) wird x2 durch u ersetzt, wodurch man die Funktion g(u) erhĂ€lt.
g(u) = 2u2â34u+32 â Mitternachtsformel anwenden.
u1,2â = 2â 234±(â34)2â4â 2â 32ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 234±1156â256ââ â Unter der Wurzel subtrahieren.
= 434±900ââ â Wurzel ziehen.
= 434±30â u1â=16
Fall 1: +
u2â=1
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
x1,22â = u1â â Wurzel ziehen.
u1â = 16 x1,2â = ±4 x3,42â = u2â â u2â = 1 x3,4â = ±1 Die Funktion g(x) hat vier Nullstellen bei x1â=4, x2â=â4, x3â=1, x4â=â1 .
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h(u)=âu4+24u2+25
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
h(u) = âu4+24u2+25 â In h(u) wird u2 durch x ersetzt, wodurch man die Funktion h(x) erhĂ€lt.
h(x) = âx2+24x+25 â Mitternachtsformel anwenden.
x1,2â = 2â (â1)â24±242â4â (â1)â 25ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 2â24±576+100ââ â Unter der Wurzel addieren.
= â2â24±676ââ â Wurzel ziehen.
= â2â24±26â x1â=â1
Fall 1: +
x2â=25
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
u1,22â = x1â â FĂŒr â1â gibt es keine reelle Lösung.
u3,42â = x2â â Wurzel ziehen.
x2â = 25 u3,4â=±5
Da es fĂŒr u1,2â keine reelle Lösung gibt, sind u3,4â die einzigen Nullstellen von h(u).
Die Funktion h(u) hat zwei Nullstellen bei u3â=5, u4â=â5.
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i(x)=x6+837âx3â27
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
i(x) = x6+837âx3â27 â In i(x) wird x3 durch u ersetzt, wodurch man die Funktion i(u) erhĂ€lt.
i(u) = u2+837âuâ27 â Mitternachtsformel anwenden.
u1,2â = 2â 1â837â±(â837â)2â4â 1â (â27)ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 2â837â±648281âââ â Wurzel ziehen.
= 2â837â±891ââ u1â=3,375
Fall 1: +
u2â=â8
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
x13â = u1â â Dritte Wurzel ziehen.
u1â = 3,375 x1â = 33,375â 33,375â = 1,5 x23â = u2â â Dritte Wurzel ziehen.
u2â = â8 x2â = â38â â38â = â2 Die Funktion i(x) hat zwei Nullstellen bei x1â=1,5, x2â=â2 .
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k(x)=x6+5x3â36
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
k(x) = x6+5x3â36 â In k(x) wird x3 durch u ersetzt, wodurch man die Funktion k(u) erhĂ€lt.
k(u) = u2+5uâ36 â Mitternachtsformel anwenden.
u1,2â = 2â 1â5±52â4â 1â (â36)ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 2â5±25+144ââ â Unter der Wurzel addieren.
= 2â5±169ââ â Wurzel ziehen.
= 2â5±13â u1â=4
Fall 1: +
u2â=â9
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
x13â = u1â â Dritte Wurzel ziehen.
u1â = 4 x1â = 34â x23â = u2â u2â = â9 â Dritte Wurzel ziehen.
x2â = â39â Die Funktion k(x) hat zwei Nullstellen bei x1â=34â, x2â=â39â .
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l(x)=x8â18x4+32
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, fĂŒr die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
l(x) = x8â18x4+32 â In l(x) wird x4 durch u ersetzt, wodurch man die Funktion l(u) erhĂ€lt.
l(u) = u2â18u+32 â Mitternachtsformel anwenden.
u1,2â = 2â 118±(â18)3â4â 1â 32ââ â Unter der Wurzel zusammenfassen.
= 218±324â128ââ â Unter der Wurzel subtrahieren.
= 218±196ââ â Wurzel ziehen.
= 218±14â u1â=16
Fall 1: +
u2â=2
Fall 2: â
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das RĂŒckgĂ€ngigmachen der Substitution.
x1,24â = u1â u1â = 16 x1,2â = ±2 x3,44â = u2â u2â = 2 x3,4â = ±42â Die Funktion l(x) hat vier Nullstellen bei x1â=2, x2â=â2, x3â=42â, x4â=â42â .
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