Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

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Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_{1} = 4$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Radizieren.
$u_{2}$	$=$	$1$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

Die Funktion $f (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 1$ , $x_{4} = - 1$ .

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$g (x) = 2 x^{4} - 34 x^{2} + 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$g (x)$	$=$	$2 x^{4} - 34 x^{2} + 32$
	↓	In $g (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $g (u)$ erhält.
$g (u)$	$=$	$2 u^{2} - 34 u + 32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 32}}{2 \cdot 2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{1156 - 256}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{34 \pm \sqrt{900}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{34 \pm 30}{4}$

$u_{1} = 16$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 4$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Radizieren.
$u_{2}$	$=$	$1$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

Die Funktion $g (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ , $x_{3} = 1$ , $x_{4} = - 1$ .

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$h (u) = - u^{4} + 24 u^{2} + 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$h (u)$	$=$	$- u^{4} + 24 u^{2} + 25$
	↓	In $h (u)$ wird $u^{2}$ durch $x$ ersetzt, wodurch man die Funktion $h (x)$ erhält.
$h (x)$	$=$	$- x^{2} + 24 x + 25$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 25}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{676}}{- 2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 24 \pm 26}{- 2}$

$x_{1} = - 1$

Fall 1: $+$

$x_{2} = 25$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$u_{1,2}^{2}$	$=$	$x_{1}$
	↓	Radizieren. Für $\sqrt{- 1}$ gibt es keine reelle Lösung.
$u_{3,4}^{2}$	$=$	$x_{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{2}$	$=$	$25$

$u_{3,4} = \pm 5$

Da es für $u_{1,2}$ keine reelle Lösung gibt, sind $u_{3,4}$ die einzigen Nullstellen von $h (u)$ .

Die Funktion $h (u)$ hat zwei Nullstellen bei $u_{3} = 5$ , $u_{4} = - 5$ .

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$i (x) = x^{6} + \frac{37}{8} x^{3} - 27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$i (x)$	$=$	$x^{6} + \frac{37}{8} x^{3} - 27$
	↓	In $i (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $i (u)$ erhält.
$i (u)$	$=$	$u^{2} + \frac{37}{8} u - 27$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \sqrt{{(- \frac{37}{8})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \sqrt{\frac{8281}{64}}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- \frac{37}{8} \pm \frac{91}{8}}{2}$

$u_{1} = 3,375$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$3,375$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt[3]{3,375}$
$\sqrt[3]{3,375}$	$=$	$1,5$
$x_{2}^{3}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{2}$	$=$	$- 8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt[3]{8}$
$- \sqrt[3]{8}$	$=$	$- 2$

Die Funktion $i (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = 1,5$ , $x_{2} = - 2$ .

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$k (x) = x^{6} + 5 x^{3} - 36$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$k (x)$	$=$	$x^{6} + 5 x^{3} - 36$
	↓	In $k (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $k (u)$ erhält.
$k (u)$	$=$	$u^{2} + 5 u - 36$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 5 \pm 13}{2}$

$u_{1} = 4$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 9$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$4$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt[3]{4}$
$x_{2}^{3}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$- 9$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt[3]{9}$

Die Funktion $k (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = \sqrt[3]{4}$ , $x_{2} = - \sqrt[3]{9}$ .

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$l (x) = x^{8} - 18 x^{4} + 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$l (x)$	$=$	$x^{8} - 18 x^{4} + 32$
	↓	In $l (x)$ wird $x^{4}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $l (u)$ erhält.
$l (u)$	$=$	$u^{2} - 18 u + 32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{3} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{324 - 128}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{196}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{18 \pm 14}{2}$

$u_{1} = 16$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 2$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{1,2}^{4}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$16$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{4}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$2$
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \sqrt[4]{2}$

Die Funktion $l (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = \sqrt[4]{2}$ , $x_{4} = - \sqrt[4]{2}$ .

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