Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

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Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Substitution.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_{1} = 4$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Die Funktion $f (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 1$ , $x_{4} = - 1$ .

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$g (x) = 2 x^{4} - 34 x^{2} + 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^4-34x^2+32$
	↓	In $g (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $g (u)$ erhält.
$\displaystyle g\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 2u^2-34u+32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{\left(-34\right)^2-4\cdot2\cdot32}}{2\cdot2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{1156-256}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm\sqrt{900}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{34\pm30}{4}$

$u_{1} = 16$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm4$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Die Funktion $g (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ , $x_{3} = 1$ , $x_{4} = - 1$ .

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$h (u) = - u^{4} + 24 u^{2} + 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle h\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -u^4+24u^2+25$
	↓	In $h (u)$ wird $u^{2}$ durch $x$ ersetzt, wodurch man die Funktion $h (x)$ erhält.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+24x+25$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot25}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{576+100}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{676}}{-2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm26}{-2}$

$x_{1} = - 1$

Fall 1: $+$

$x_{2} = 25$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle u_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Radizieren. Für $\sqrt{-1}$ gibt es keine reelle Lösung.
$\displaystyle u_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle x_2$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 25$

$u_{3{,}4}=\pm5$

Da es für $u_{1{,}2}$ keine reelle Lösung gibt, sind $u_{3{,}4}$ die einzigen Nullstellen von $h (u)$ .

Die Funktion $h (u)$ hat zwei Nullstellen bei $u_{3} = 5$ , $u_{4} = - 5$ .

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$i(x)=x^6+\frac{37}{8}x^3-27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^6+\frac{37}{8}x^3-27$
	↓	In $i (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $i (u)$ erhält.
$\displaystyle i\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2+\frac{37}{8}u-27$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\sqrt{\left(-\frac{37}{8}\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-27\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\sqrt{\frac{8281}{64}}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{37}{8}\pm\frac{91}{8}}{2}$

$u_{1}=3{,}375$

Fall 1: $+$

$u_{2}=-8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_1^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 3{,}375$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{3{,}375}$
$\displaystyle \sqrt[3]{3{,}375}$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$
$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Funktion $i (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_1=1{,}5$ , $x_{2} = - 2$ .

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$k (x) = x^{6} + 5 x^{3} - 36$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^6+5x^3-36$
	↓	In $k (x)$ wird $x^{3}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $k (u)$ erhält.
$\displaystyle k\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2+5u-36$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot\left(-36\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{169}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-5\pm13}{2}$

$u_{1} = 4$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 9$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_1^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{4}$
$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{9}$

Die Funktion $k (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_1=\sqrt[3]{4}$ , $x_2=-\sqrt[3]{9}$ .

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$l (x) = x^{8} - 18 x^{4} + 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle l\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^8-18x^4+32$
	↓	In $l (x)$ wird $x^{4}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $l (u)$ erhält.
$\displaystyle l\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-18u+32$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{\left(-18\right)^3-4\cdot1\cdot32}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{324-128}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{196}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm14}{2}$

$u_{1} = 16$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 2$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^4$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^4$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt[4]{2}$

Die Funktion $l (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ , $x_3=\sqrt[4]{2}$ , $x_4=-\sqrt[4]{2}$ .

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