Höhere Wurzel

Die n-te Wurzel (⁣ $n \geq 2$ ) einer Zahl $a \in ℝ_{0}^{+}$ , bezeichnet als $\sqrt[n]{a}$ ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muss ("hoch n nehmen"), um $a$ zu erhalten.

Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung $x^{n} = a$ bezeichnet man als $\sqrt[n]{a}$ .

Zum Beispiel ist $\sqrt[3]{27} = 3$ , denn $3^{3} = 27$ .

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für $n$ gerade die Gleichung $x^{n} = a$ keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für $n$ ungerade eine Gleichung $x^{n} = a$ für negative $a$ , allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z.B: $\sqrt[4]{- 1}$ ist nicht definiert, denn $x^{4} = {(x^{2})}^{2} = - 1$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. $- 2 = \sqrt[3]{- 8} \neq \sqrt[6]{(- 8)^{2}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[3]{8} = 2$

Im Falle $n = 2$ spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt $\sqrt[2]{a}$ einfach $\sqrt{a}$ .

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

\sqrt[n]{x}

Das $n$ nennt man Wurzelexponent.
Das $x$ nennt man Radikand.
$\sqrt[n]{x}$ nennt man einen Wurzelterm oder auch eine n-te Wurzel.

Beispiele

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{125} = 5 \end{array}$ , denn $5^{3} = 125$ .
$\sqrt[4]{- 3}$ ist nicht definiert, denn $x^{4} = {(x^{2})}^{2} = - 3$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.
$\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{3} \cdot 2$ , denn $48 = 3 \cdot 16$ , wobei $\begin{array}{l} 2^{4} = 16 \end{array}$ und $\sqrt[4]{3}$ sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

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