Höhere Wurzel

Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung $x^n=ax^n=a$ bezeichnet man als $\sqrt[n]{a}\backslash sqrt[n]a$ .

Zum Beispiel ist $\sqrt[3]{27}=3\backslash sqrt[3]\{27\}=3$ , denn $3^3=273^3=27$ .

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für $nn$ gerade die Gleichung $x^n=ax^n=a$ keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für $nn$ ungerade eine Gleichung $x^n=ax^n=a$ für negative $aa$, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z.B: $\sqrt[4]{-1}\backslash sqrt[4]\{-1\}$ ist nicht definiert, denn $x^4={\left(x^2\right)}^2=-1x^4=\backslash left(x^2\backslash right)^2=-1$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. $-2=\sqrt[3]{-8}\mathrm{\ne }\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[3]{8}=2-2\backslash ;=\backslash ;\backslash sqrt[3]\{-8\}\backslash ;\backslash neq\backslash ;\backslash sqrt[6]\{(-8)^2\}\backslash ;=\backslash sqrt[6]\{64\}\backslash ;=\backslash ;\backslash sqrt[3]8\backslash ;=2$

Im Falle $\mathrm{n}=2\backslash mathrm\; n=2$ spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt $\sqrt[2]{a}\backslash sqrt[2]a$ einfach $\sqrt{a}\backslash sqrt\; a$ .

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

Beispiele

1. $\begin{array}{c}\sqrt[3]{125}=5\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash sqrt[3]\{125\}=5\backslash end\{array\}$, denn $5^3=1255^3=125$.

2. $\sqrt[4]{-3}\backslash sqrt[4]\{-3\}$ ist nicht definiert, denn $x^4={\left(x^2\right)}^2=-3x^4=\backslash left(x^2\backslash right)^2=-3$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

3. $\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{3}\cdot 2\backslash sqrt[4]\{48\}=\backslash sqrt[4]3\backslash cdot2$, denn $48=3\cdot 1648\backslash ;=\backslash ;3\backslash ;\backslash cdot\backslash ;16$, wobei $\begin{array}{c}{2}^4=16\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}2^4\backslash ;=\backslash ;16\backslash end\{array\}$ und $\sqrt[4]{3}\backslash sqrt[4]3$ sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln