Aufgaben zur Berechnung von Nullstellen

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

$f(x)=\frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	$x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle \frac{1}{4}x^4-3x^2+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x2$ wird durch uuu ersetzt.
$\displaystyle \frac{1}{4}u^2-3u+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot\frac{1}{4}\cdot8}}{2\cdot\frac{1}{4}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}{0{,}5}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{1}}{0{,}5}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_1=8$

Fall 1: $+$

$u_2=4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{8}$
	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{2}$
$\displaystyle x_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f(x)$ hat fünf Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=2\sqrt2$ , $x_3=-2\sqrt2$ , $x_4=2$ , $x_5=-2$ .

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$g(x)=x^7-7x^4-8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	$x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^6-7x^3-8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x^6-7x^3-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle x^6-7x^3-8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle u^2-7u$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{81}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm9}{2}$

$u_1=8$

Fall 1: $+$

$u_2=-1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}$
$\displaystyle \sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle -1$

Die Funktion $g(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=2$ , $x_3=-1$ .

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$h(u)=u^5-13u^3+36u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle h\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	$u$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle u\cdot\left(u^4-13u^2+36\right)$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(u^4-13u^2+36\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u^4-13u^2+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$u^2$ wird durch $x$ ersetzt.
$\displaystyle x^2-13x+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{\left(-13\right)^2-4\cdot1\cdot36}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_1=9$

Fall 1: $+$

$x_2=4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle u_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{9}$
$\displaystyle \pm\sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle \pm3$
$\displaystyle u_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle x_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle u_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
$\displaystyle \pm\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $h(u)$ hat fünf Nullstellen bei $u_1=0$ , $u_2=3$ , $u_3=-3$ , $u_4=2$ , $u_5=-2$ .

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$k(z)=2z^7+14z^4-16z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle k\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	$z$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle z\cdot\left(2z^6+14z^3-16\right)$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(2z^6-14z^3-16\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle 2z^6-14z^3-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$z3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle 2u^2+14u-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot2\cdot\left(-16\right)}}{2\cdot2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{196+128}}{4}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{324}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm18}{4}$

$u_1=1$

Fall 1: $+$

$u_2=-8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle z_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{1}$
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -8$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle z_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Funktion $k(z)$ hat drei Nullstellen bei $z_1=0$ , $z_2=1$ , $z_3=-2$ .

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