Aufgaben zur Berechnung von Nullstellen

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Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} - 9$ nur zwei Nullstellen besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-8x^2-9$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-8u-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-9\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{100}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm10}{2}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fall 1: $+$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Fall 2: $-$

Da noch resubstituiert werden muss, gilt für die Nullstellen von $f (x)$ :

$x_{1{,}2}=\pm\sqrt{u_1}$ und $x_{3{,}4}=\pm\sqrt{u_2}$

Jedoch gibt es für $x_{3{,}4}$ keine reelle Lösung, da $u_{2}$ negativ ist.

Somit hat $f (x)$ nur die zwei Nullstellen $x_{1}=\sqrt9=3$ und $x_2=-\sqrt9=-3$ .

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