Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $g(x)g(x)$ und $l(x)l(x)$.

• Bei $g(x)=2x^4-4x^2-24g(x)=2x^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}\}-4x^\{\backslash color\{\#009999\}\{2\}\}-24$ hast du die Exponenten $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ und $2\backslash color\{\#009999\}\{2\}$. Da $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ das Doppelte von $2\backslash color\{\#009999\}\{2\}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $g(x)=2x^4-4x^2-24=2{(x^2)}^2-4x^2-24g(x)=2x^4-4x^2-24=2\{(x^2)\}^2-4x^2-24$

  Setze $u=x^{2}u=x^2$,

  dann folgt $g(u)=2u^2-4u-24g(u)=2u^2-4u-24$.

• Bei $l(x)=3x^8+3x^4-6l(x)=3x^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}\}+3x^\{\backslash color\{\#009999\}\{4\}\}-6$ hast du die Exponenten $8\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}$ und $4\backslash color\{\#009999\}\{4\}$. Da $8\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}$ das Doppelte von $4\backslash color\{\#009999\}\{4\}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $l(x)=3x^8+3x^4-6=3{(x^4)}^2+3x^4-6l(x)=3x^8+3x^4-6=3\{(x^4)\}^2+3x^4-6$

  Setze $u=x^{4}u=x^4$,

  dann folgt $l(u)=3u^2+3u-6l(u)=3u^2+3u-6$.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $f(x)f(x)$, $h(x)h(x)$ und $k(x)k(x)$.

• Bei $f(x)=4x^3+2x+1f(x)=4x^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{3\}\}+2x+1$ hast du die Exponenten $3\backslash color\{\#ff6600\}\{3\}$ und $1\backslash color\{\#009999\}\{1\}$. (Die $1\backslash color\{\#009999\}\{1\}$ kommt von $2x=2x^{1}2x=2x^\{\backslash color\{\#009999\}\{1\}\}$.) Da $3\backslash color\{\#ff6600\}\{3\}$ nicht das Doppelte von $1\backslash color\{\#009999\}\{1\}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.

• Bei $h(x)=4x^8-4x^6+1h(x)=4x^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}\}-4x^\{\backslash color\{\#009999\}\{6\}\}+1$ hast du die Exponenten $8\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}$ und $6\backslash color\{\#009999\}\{6\}$. Da $8\backslash color\{\#ff6600\}\{8\}$ nicht das Doppelte von $6\backslash color\{\#009999\}\{6\}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.

• Bei $k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7$ kannst du die Substitution auch nicht anwenden, da die Exponenten jeweils um $11$ größer werden und sich somit nicht immer verdoppeln.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei $g(x)g(x)$ und $l(x)l(x)$ die Substitution anwenden und bei $f(x)f(x)$, $h(x)h(x)$ und $l(x)l(x)$ nicht.

Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $f(z)f(z)$, $g(a)g(a)$ und $k(u)k(u)$.

• Bei $f(z)=z{}^4+z{}^2-12f(z)=z\backslash color\{\#ff6600\}\{^4\}+z\backslash color\{\#009999\}\{^2\}-12$ hast du die Exponenten $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ und $2\backslash color\{\#009999\}\{2\}$. Da $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ das Doppelte von $2\backslash color\{\#009999\}\{2\}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $f(z)=z^4+z^2-12={(z^2)}^2+z^2-12f(z)=z^4+z^2-12=\{(z^2)\}^2+z^2-12$

  Setze $u=z^{2}u=z^2$,

  dann folgt $f(u)=u^2+u-12f(u)=u^2+u-12$.

• Bei $g(a)=a^{10}-a^5+1g(a)=a^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{10\}\}-a^\{\backslash color\{\#009999\}\{5\}\}+1$ hast du die Exponenten $10\backslash color\{\#ff6600\}\{10\}$ und $5\backslash color\{\#009999\}\{5\}$. Da $10\backslash color\{\#ff6600\}\{10\}$ das Doppelte von $5\backslash color\{\#009999\}\{5\}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $g(a)=a^{10}-a^5+1={(a^5)}^2-a^5+1g(a)=a^\{10\}-a^5+1=\{(a^5)\}^2-a^5+1$

  Setze $u=a^{5}u=a^5$,

  dann folgt $g(u)=u^2-u+1g(u)=u^2-u+1$.

• Bei $k(u)=\frac{1}{4}{u}^6-\frac{1}{2}{u}^3+4k(u)=\backslash frac14u^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{6\}\}-\backslash frac12u^\{\backslash color\{\#009999\}\{3\}\}+4$ hast du die Exponenten $6\backslash color\{\#ff6600\}\{6\}$ und $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$. Da $6\backslash color\{\#ff6600\}\{6\}$ das Doppelte von $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $k(u)=\frac{1}{4}{u}^6-\frac{1}{2}{u}^3+4=\frac{1}{4}{(u^3)}^2-\frac{1}{2}{u}^3+4k(u)=\backslash frac14u^6-\backslash frac12u^3+4=\backslash frac14\{(u^3)\}^2-\backslash frac12u^3+4$

  Setze $x=u^{3}x=u^3$,

  dann folgt $k(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+4k(x)=\backslash frac14x^2-\backslash frac12x+4$.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $h(x)h(x)$ und $l(s)l(s)$.

• Bei $h(x)=4x^5-2x{}^3+1h(x)=4x^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{5\}\}-2x\backslash color\{\#009999\}\{^3\}+1$ hast du die Exponenten $5\backslash color\{\#ff6600\}\{5\}$ und $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$. Da $5\backslash color\{\#ff6600\}\{5\}$ nicht das Doppelte von $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.

• Bei $l(s)=s^4+3s^3+3l(s)=s^\{\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}\}+3s^\{\backslash color\{\#009999\}\{3\}\}+3$ hast du die Exponenten $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ und $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$. Da $4\backslash color\{\#ff6600\}\{4\}$ nicht das Doppelte von $3\backslash color\{\#009999\}\{3\}$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei $f(z)f(z)$, $g(a)g(a)$ und $k(u)k(u)$ die Substitution anwenden und bei $h(x)h(x)$ und $l(s)l(s)$ nicht.