Aufgaben zur Polynomfunktion - lernen mit Serlo!

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\begin{array}{rcl} f (x) = (x - 2)^{2} - 1 & = & 0 & | + 1 \\ (x - 2)^{2} & = & 1 & | \sqrt{} \\ x_{1,2} - 2 & = & \pm 1 & | + 2 \\ x_{1,2} & = & \pm 1 + 2 \\ x_{1} & = & 1 \\ x_{2} & = & 3 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (1 | 0)$ und $B (3 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$f (0)$ $=$ ${(0 - 2)}^{2} - 1$
$=$ ${(- 2)}^{2} - 1$
$=$ $4 - 1$
$=$ $3$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C (0 | 3)$ .
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$g (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$g (x)$ $=$ $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
↓
Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$0$ $=$ $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
↓
Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$0$ $=$ $x (x^{2} + 2 x - 3)$
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Setze die Klammer gleich Null.
$x^{2} + 2 x - 3$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
$=$ $\frac{- 2 \pm 4}{2}$
$x_{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{3} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (- 3 | 0)$ und $B (0 | 0)$ und $C (1 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$g (0)$ $=$ $0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0$
$=$ $0 + 0 - 0$
$=$ $0$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $B (0 | 0)$ .
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$h (x) = 0,5 x^{4} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\begin{array}{rcl} h (x) = 0,5 x^{4} - 8 & = & 0 & | + 8 \\ 0,5 x^{4} & = & 8 & | \cdot 2 \\ x^{4} & = & 16 & | \sqrt[4]{} \\ x_{1,2} & = & \pm 2 \\ x_{1} & = & - 2 \\ x_{2} & = & 2 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (- 2 | 0)$ und $B (2 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$h (0)$ $=$ $0,5 \cdot 0^{4} - 8$
$=$ $0 - 8$
$=$ $- 8$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C (0 | - 8)$ .
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$f (0)$	$=$	${(0 - 2)}^{2} - 1$
	$=$	${(- 2)}^{2} - 1$
	$=$	$4 - 1$
	$=$	$3$

$g (x)$	$=$	$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
	↓	Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$0$	$=$	$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
	↓	Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$0$	$=$	$x (x^{2} + 2 x - 3)$

$x^{2} + 2 x - 3$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\frac{- 2 \pm 4}{2}$

$g (0)$	$=$	$0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0$
	$=$	$0 + 0 - 0$
	$=$	$0$

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der y-Achse

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