Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Wenn die Funktion $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ die $xx$-Achse schneidet, ist der $yy$-Wert an diesen Stellen gleich null. Die Schnittpunkte von $ff$ mit der $xx$-Achse entsprechen also den Nullstellen von $ff$.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $xx$-Achse sind dann allgemein: $S\left(x\mathrm{\mid }0\right)S\backslash left(x|0\backslash right)$.

Um die Schnittpunkte einer Funktion $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ mit der $xx$-Achse zu berechnen, musst du daher den y-Wert gleich null setzen. Anschließend löst du die Gleichung nach x auf.

Beispiel:

Wir wollen berechnen, in welchem Punkt die Gerade $y=2x-4y=2x-4$ die $xx$-Achse schneidet. Anders gesagt: Wir wollen die Nullstellen der Geraden berechnen.

Wie du an der Abbildung erkennen kannst, ist $BB$ der Punkt, in dem die Gerade die $xx$-Achse schneidet. Die $yy$-Koordinate von $BB$ ist gleich null: $y=0y=0$.

Um zu berechnen, was die $xx$-Koordinate von $BB$ ist, kannst du die Geradengleichung daher gleich Null setzen, also $y=0y=0$.

$2x-4=02x-4=0$

Diese Gleichung kannst du jetzt nach $xx$ auflösen:

Die $xx$-Koordinate von $BB$ ist also $x=2x=2$. Das kannst du auch oben am Graphen überprüfen. Die Gerade hat also eine Nullstelle bei $x=2x=2$

Die Gerade schneidet die $xx$-Achse im Punkt $B\left(2\mathrm{\mid }0\right)B\backslash left(2|0\backslash right)$.

Beispiel:

Der Graph zeigt die Funktion $f\left(x\right)=x^3-xf\backslash left(x\backslash right)=x^3-x$.

Alternativ kannst du auch das $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ durch $yy$ ersetzen, also $y=x^3-xy=x^3-x$ schreiben.

Wir wollen die Schnittpunkte von $ff$ mit der $xx$-Achse, also die Nullstellen von $ff$ berechnen. Deshalb setzen wir $yy$ gleich null: $y=0y=0$

$x^3-x=0x^3-x=0$

Diese Gleichung müssen wir nun nach $xx$ auflösen. Dafür können wir zunächst ein $xx$ ausklammern:

$x(x^2-1)=0x\backslash left(x^2-1\backslash right)=0$

Der Term in Klammern $(x^2-1)\backslash left(x^2-1\backslash right)$ erinnert uns an die 3. binomische Formel: $(x^2-1)=(x+1)(x-1)\backslash left(x^2-1\backslash right)=\backslash left(x+1\backslash right)\backslash left(x-1\backslash right)$. Wenn wir diese anwenden, können wir die Nullstellen von $ff$ leichter ablesen:

$x(x+1)(x-1)=0x\backslash left(x+1\backslash right)\backslash left(x-1\backslash right)=0$

Ein Produkt ist immer genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null wird. Deshalb können wir die Schnittpunkte von $ff$ ablesen:

$\underset{x_1=0}{\underbrace{x}}(\underset{x_2=-1}{\underbrace{x+1}})(\underset{x_3=1}{\underbrace{x-1}})=0\backslash underbrace\{x\}\_\{x\_1=0\}(\backslash underbrace\{x+1\}\_\{x\_2=-1\})(\backslash underbrace\{x-1\}\_\{x\_3=1\})=0$

Setzt man also beispielsweise in die erste Klammer $(x+1)(x+1)$ für $x=-1x=-1$ ein, wird diese Klammer null. Damit wird das gesamte Produkt null.

An den Punkten, an denen die Funktion $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ die $yy$-Achse schneidet, ist der $xx$-Wert gleich null.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $yy$-Achse sind dann allgemein: $S\left(0\mathrm{\mid }y\right)S\backslash left(0|y\backslash right)$.

Um die Schnittpunkte einer Funktion $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ mit der $yy$-Achse zu berechnen, musst du deswegen für $xx$ null einsetzen, also $f\left(0\right)f\backslash left(0\backslash right)$ ausrechnen.

Beispiel:

Wir berechnen für die obige Gerade $y=2x-4y=2x-4$ jetzt die Schnittpunkte mit der $yy$-Achse.

Wie du in der Abbildung sehen kannst, schneidet die Gerade die $yy$-Achse im Punkt $AA$. Die $xx$-Koordinate von $AA$ ist null: $x=0x=0$

Um jetzt die $yy$-Koordinate von $AA$ zu berechnen, setzen wir deshalb für $xx$ null ein und rechnen $yy$ aus:

$y=2\cdot 0-4=0-4=-4y=2\backslash cdot0-4=0-4=-4$

Die $yy$-Koordinate von $AA$ ist also $-4-4$. Das ist auch der $yy$-Achsenabschnitt der Gerade. Im Fall einer Gerade $g\left(x\right)=mx+tg\backslash left(x\backslash right)=mx+t$ kannst du den $yy$-Achsenabschnitt auch direkt an der Funktionsgleichung ablesen: $tt$ ist der $yy$-Achsenabschnitt.

Unsere Gerade schneidet die $yy$-Achse also im Punkt $A(0\mathrm{\mid }-4)A\backslash left(0|-4\backslash right)$.

Beispiel:

Wir wollen für die obige Funktion $f(x)=x^3-xf(x)=x^3-x$ nun auch die Schnittpunkte mit der $yy$-Achse berechnen.

Dafür berechnen wir $f\left(0\right)f\backslash left(0\backslash right)$:

$f\left(0\right)=0^3-0=0f\backslash left(0\backslash right)=0^3-0\backslash \; =0$