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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnest du ähnlich wie die Schnittpunkte zweier Funktionen. Nur setzt du hier nicht zwei Funktionen gleich, sondern setzt eine der Variablen in der Funktion gleich 0, also entweder x=0 oder y=0.

Im roten Punkt schneidet die Gerade die y-Achse und im blauen Punkt schneidet die Gerade die x-Achse.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Wenn die Funktion f(x) die x-Achse schneidet, ist der y-Wert an diesen Stellen gleich null. Die Schnittpunkte von f mit der x-Achse entsprechen also den Nullstellen von f.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der x-Achse sind dann allgemein: S(x|0).

Um die Schnittpunkte einer Funktion f(x) mit der x-Achse zu berechnen, musst du daher den y-Wert gleich null setzen. Anschließend löst du die Gleichung nach x auf.

Beispiel:

Wir wollen berechnen, in welchem Punkt die Gerade y=2x4 die x-Achse schneidet. Anders gesagt: Wir wollen die Nullstellen der Geraden berechnen.

Bild

Wie du an der Abbildung erkennen kannst, ist B der Punkt, in dem die Gerade die x-Achse schneidet. Die y-Koordinate von B ist gleich null: y=0.

Um zu berechnen, was die x-Koordinate von B ist, kannst du die Geradengleichung daher gleich Null setzen, also y=0.

2x4=0

Diese Gleichung kannst du jetzt nach x auflösen:

2x4=0+4
2x=4:2
x=2

Die x-Koordinate von B ist also x=2. Das kannst du auch oben am Graphen überprüfen. Die Gerade hat also eine Nullstelle bei x=2

Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt B(2|0).

Beispiel:

Der Graph zeigt die Funktion f(x)=x3x.

Bild

Alternativ kannst du auch das f(x) durch y ersetzen, also y=x3x schreiben.

Wir wollen die Schnittpunkte von f mit der x-Achse, also die Nullstellen von f berechnen. Deshalb setzen wir y gleich null: y=0

x3x=0

Diese Gleichung müssen wir nun nach x auflösen. Dafür können wir zunächst ein x ausklammern:

x(x21)=0

Der Term in Klammern (x21) erinnert uns an die 3. binomische Formel: (x21)=(x+1)(x1). Wenn wir diese anwenden, können wir die Nullstellen von f leichter ablesen:

x(x+1)(x1)=0

Ein Produkt ist immer genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null wird. Deshalb können wir die Schnittpunkte von f ablesen:

xx1=0(x+1x2=1)(x1x3=1)=0

Setzt man also beispielsweise in die erste Klammer (x+1) für x=1 ein, wird diese Klammer null. Damit wird das gesamte Produkt null.

Die Schnittpunkte von f mit der x-Achse sind daher A(1|0),B(0|0),C(1|0)

Schnittpunkte mit der y-Achse

An den Punkten, an denen die Funktion f(x) die y-Achse schneidet, ist der x-Wert gleich null.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der y-Achse sind dann allgemein: S(0|y).

Um die Schnittpunkte einer Funktion f(x) mit der y-Achse zu berechnen, musst du deswegen für x null einsetzen, also f(0) ausrechnen.

Beispiel:

Wir berechnen für die obige Gerade y=2x4 jetzt die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Bild

Wie du in der Abbildung sehen kannst, schneidet die Gerade die y-Achse im Punkt A. Die x-Koordinate von A ist null: x=0

Um jetzt die y-Koordinate von A zu berechnen, setzen wir deshalb für x null ein und rechnen y aus:

y=204=04=4

Die y-Koordinate von A ist also 4. Das ist auch der y-Achsenabschnitt der Gerade. Im Fall einer Gerade g(x)=mx+t kannst du den y-Achsenabschnitt auch direkt an der Funktionsgleichung ablesen: t ist der y-Achsenabschnitt.

Unsere Gerade schneidet die y-Achse also im Punkt A(0|4).

Beispiel:

Wir wollen für die obige Funktion f(x)=x3x nun auch die Schnittpunkte mit der y-Achse berechnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8381_qkTuWmSo1r.xml

Dafür berechnen wir f(0):

f(0)=030 =0

Der Schnittpunkt von f mit der y-Achse ist  T(0|0).

Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt auch der y-Achsenabschnitt der Funktion f.

Jede Funktion hat immer höchstens einen Schnittpunkt mit der y-Achse.

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