Aufgaben zur Polynomfunktion - lernen mit Serlo!

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Bestimme die Nullstellen:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\ 3u\ +\ 2\ =\ 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}2$

$u_1: \frac{4}{2}=2$

Fall: +

$u_2: \frac{2}{2}=1$

Fall: -

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Die Nullstellen der Funktion lauten $x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=1,\;x_4=-1$

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$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\frac{17}{4}u+1$
	↓	Mitternachtsformal anwenden
$\displaystyle u_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{(-\frac{17}{4})^2-4\cdot1\cdot1}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{14{,}0625}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\frac{15}{4}}{2}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Fall: -

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x_1=2,\;x_2=-2,\;x_3=\frac12,\;x_4=-\frac12$ .

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$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

\displaystyle f\left(x\right)

=

\displaystyle (x^2-\frac{3}{2})^2

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle (u-\frac{3}{2})^2=(u-\frac{3}{2})(u-\frac{3}{2})$
	↓	Die Nullstellen können abgelesen werden
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Doppelte Nullstelle

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei $x_1=\sqrt{\frac32}$ und $x_2=-\sqrt{\frac32}$ .

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$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

\displaystyle f\left(x\right)

=

\displaystyle \frac{1}{2}x^6-2x^3-2

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_1^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

Die Funktion hat 2 Nullstellen bei $x_1\approx\sqrt[3]{4{,}83}\approx 1{,}69$ und bei $x_2\approx\sqrt[3]{-0{,}83}\approx -0{,}94$ .

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