Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Eine Funktion ff: xf(x)x\mapsto f(x), deren Funktionsterm f(x)f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist somit eine Funktion der Form

f(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0f(x) = \color{#cc0000}{a_n} \cdot x^{\color{#009999}{n}}+ \color{#cc0000}{a_{n-1}}\cdot x^{\color{#009999}{{n-1}}}+…+\color{#cc0000}{a_2} \cdot x^{\color{#009999}{2}}+\color{#cc0000}{{a_1}} \cdot x+\color{#cc0000}{a_0}.

  • Die Zahlen an,an1,,a2,a1,a0a_n, a_{n-1},…,a_2,a_1,a_0 nennt man Koeffizienten\color{#cc0000}{\mathrm{Koeffizienten}}.

  • Die Zahlen n,n1,n, n-1,… bezeichnet man als Exponenten\color{#009999}{\mathrm{Exponenten}}.

  • Der größte vorkommende Exponent (hier: n\color{#009999}{n}) bestimmt den Grad der Polynomfunktion.

  • Den Koeffizienten vor dem größten vorkommenden Exponenten nennt man den Leitkoeffizienten (hier: an\color{#cc0000}{a_n}).

Beispiel

  • Die Koeffizienten sind a3=2a_3=-2; a1=12a_1=-\frac12 und a0=4a_0=4.

  • Die vorkommenden Exponenten sind n=3n=3 und n2=1n-2=1

  • f(x)f(x) hat den Grad 33 und den Leitkoeffizienten 2-2.

Nullstellen

Eine ganzrationale Funkion nn-ten Grades hat höchstens nn Nullstellen.

  • Bei Polynomfunktionen bis zu Grad 2 existieren Lösungsformeln wie z.B. die Mitternachtsformel.

  • Bei höheren Graden hilft die Polynomdivision, ein Polynom zu vereinfachen, wenn man eine Nullstelle (z.B. durch Raten) schon kennt.

  • Für Polynomfunktionen 3. und 4. Grades existieren (in der Schule nicht gebräuchliche und komplizierte) Formeln. Für höhere Grade kann man keine allgemeine Formel für die Nullstellen bilden.

Grenzwerte

Lässt man xx gegen plus oder minus unendlich gehen, so ist der Grenzwert limx±lim_{x\rightarrow\pm\infty} der Polynomfunktion immer plus oder minus unendlich. Bei ganzrationalen Funktionen geraden Grades ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte gleich, bei ungeradem Grad verschieden. Es entscheidet jeweils das Vorzeichen des Parameters mit der höchsten Potenz (in der Tabelle a genannt) über die Vorzeichen der Grenzwerte.

Beispiele

Im Folgenden werden die Grenzwerte der Funktionen

f(x)=ax3+x22x+0,5f(x)=ax^3+x^2-2x+0{,}5 und

g(x)=ax42x3+xg(x)=ax^4-2x^3+x

für jeweils a>0a>0 und a<0a<0 betrachtet.

Ungerader Grad

Gerader Grad

Spezielle Polynomfunktionen

Im Folgenden werden spezielle Polynomfunktionen vorgestellt:

Konstante Funktionen (Grad 0)

Die Konstante Funktion ordnet jedem xx dasselbe cc zu.

Der Graph der konstanten Funktion ist eine Parallele zur xx-Achse, die die yy-Achse auf der Höhe cc schneidet.

Graph der Abbildung f(x)=5f(x)=5

Lineare Funktionen (Grad 1)

Lineare Funktionen sind ganzrationale Funktionen ersten Grades. Sie haben die Form f(x)=mx+tf(x)=mx+t

Graph der Funktion f(x)=2x+4f(x)=2x+4

Quadratische Funktionen (Grad 2)

Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2. Sie haben die Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

Graph der Funktion f(x)=x23x+2f(x)=x^2-3x+2

Beispiele und Nicht-Beispiele

  • f(x)=2x412x+1f(x)= 2x^4-\frac{1}{2}x+1

  • g(x)=2x2πx7g(x)=\sqrt{2}\cdot x^2-\pi \cdot x^7

  • f(x)=sin(x)+1f(x)=\sin(x)+1

  • g(x)=e2xg(x)=e^{2x}

  • i(x)=x1i(x)=\sqrt{x-1}

Extrema

Um die Extrema einer Polynomfunktion f(x)f(x) nn-ten Grades zu bestimmen, berechnet man zunächst die Ableitung f(x)f'(x) und bestimmt davon die Nullstellen. f(x)f'(x) ist eine Polynomfunktion (n1)(n-1)-ten Grades. Diese hat maximal (n1)(n-1) Nullstellen.

Also folgt:

Eine Polynomfunktion nn-ten Grades hat höchstens (n1)(n-1) Extrema.

Abbildung: Graph einer Polynomfunktion 5-ten Grades


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