Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen und gib die Funktionen in ihrer Linearfaktordarstellung an.

$g(u)=u^3-2u^2-u+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Man berechnet Nullstellen der Funktion $g$ , indem man die $u$ -Werte findet, für die $g(u)=0$ gilt.

$\displaystyle g\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^3-2u^2-u+2$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^3-2u^2-u+2$
	↓	Finde die erste Nullstelle durch Probieren.

Hier: $u_1=1$ , denn:

$g(1)=1^3-2 \cdot 1^2-1+2= 1-2-1+2=0$

Führe nun mit $g(u)$ und dem Linearfaktor $(u-1)$ eine Polynomdivision durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\\underline{-(u^3-u^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-u^2-u\\\;\;\;\;\;\underline{-(-u^2+u)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2u+2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2u+2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Berechne nun also die Nullstellen von $u^2-u-2$ . Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm3}{2}$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1+3}{2}$
	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle u_3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1-3}{2}$
	$=$	$\displaystyle -1$

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $g$ in Linearfaktorendarstellung.

$g(u)=(u-1)\cdot(u-2)\cdot(u+1)$

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$l(z)=z^3+4z^2+4z$

$h(x)=x^3−x^2+x−1$

$f(x)=x^3+3x^2-4x$

$\displaystyle l\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle z^3+4z^2+4z$
	↓	Setze die Funktion $l$ gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle z^3+4z^2+4z$
	↓	Klammere ein $z$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle z\cdot\left(z^2+4z+4\right)$

$\displaystyle z_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm0}{2}$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-x^2+x-1$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-x^2+x-1$
	↓	Hier brauchst du die Polynomdivision um die Nullstellen zu berechnen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle x^3+3x^2-4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ ausklammern .
$\displaystyle x\cdot\left(x^2+3x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die Klammer gleich $0$ .
$\displaystyle \left(x^2+3x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3+5}{2}$
	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3-5}{2}$
	$=$	$\displaystyle -4$