Man berechnet Nullstellen der Funktion $g$, indem man die $u$-Werte findet, für die $g(u)=0$ gilt.

Hier: $u_1=1$, denn:

$g(1)=1^3-2\cdot 1^2-1+2=1-2-1+2=0$

Führe nun mit $g(u)$ und dem Linearfaktor $(u-1)$ eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{l}(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\ \underline{-(u^3-u^2)}\\ -u^2-u\\ \underline{-(-u^2+u)}\\ -2u+2\\ \underline{-(-2u+2)}\\ 0\end{array}$

Berechne nun also die Nullstellen von $u^2-u-2$. Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $g$ in Linearfaktorendarstellung.

$g(u)=(u-1)\cdot (u-2)\cdot (u+1)$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $l$, indem man die $z$-Werte findet, für die $l(z)=0$ gilt.

Die erste Nullstelle von $l(z)$ ist also: $z_1=0.$

Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion $z^2+4z+4$. Nutze dafür die Mitternachtsformel.

Die zweite Nullstelle $z_{\mathrm{2,3}}=-2$ ist eine doppelte Nullstelle.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $l$ in Linearfaktorendarstellung.

$l(z)=z\cdot (z+2{)}^2$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $h$, indem man die $x$-Werte findet, für die $h(x)=0$ gilt.

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Hier $x_1=1$, denn:

$h(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ x-1\\ \underline{-(x-1)}\\ 0\end{array}$

Da $x^2+1$ keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $h$ in Linearfaktorendarstellung.

$h(x)=(x-1)\cdot (x^2+1)$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $f$, indem man die $x$-Werte findet, für die $f(x)=0$ gilt.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $f$ in Linearfaktorendarstellung.

$f\left(x\right)=x\cdot (x-1)\cdot (x+4)$