Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Zerlege folgende Funktionen soweit möglich in Linearfaktoren.

$f(x)=x^2+2x-3$

$g(z)=z^3−z^2+4z−4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0=z^3-z^2+4z-4$
Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle
$\displaystyle g\left(1\right)$ $=$ $\displaystyle 1^3-1^2+4\cdot1-4$
$=$ $\displaystyle 1-1+4-4$
$=$ $\displaystyle 0$
$\Rightarrow z_1=1$ ist eine Nullstelle von $g(z)$
Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(z^3-z^2+4z-4):(z-1)=z^2+4\\-\underline{(z^3-z^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0+4z-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4z-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Versuche nun noch die Nullstellen von $z^2+4$ zu bestimmen.
$\displaystyle z^2+4$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle z^2$ $=$ $\displaystyle -4$
$\Rightarrow z^2+4$ hat also keine Nullstellen.
$g(z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung.
Die Funktion ist zerlegbar in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(z^2+4)$ :
$g(z)=z^3-z^2+4z-4=(z-1)\cdot(z^2+4)$
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$h(u)=u^2-3u+2$

$i(x)=5x^4-25x^2+20$

$k(x)=\frac12x^4+x^3-\frac32x^2-4x-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{3}{2}x^2-4x-2$
	↓	Klammere $\frac12$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^4+2x^3-3x^2-8x-4\right)$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3-3x^2-8x-4$

Wende die Polynomdivision an:

Errate die erste Nullstelle. Hier: $x_1=-1$ , denn:

$k(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)-4\\\phantom{k(-1)}=1-2-3+8-4=0$

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $k(x)$ durch $(x+1)$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \;\;(x^4+2x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^3+x^2-4x-4\\\underline{-(x^4+x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^3-3x^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^3+x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-8x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4x-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\Rightarrow$ Wir erhalten eine neue Funktion $\tilde k(x)=x^3+x^2-4x-4$

Um die Nullstellen von $\tilde k(x)$ zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:

Errate wieder eine Nullstelle. Hier: $x_2=2$ , denn:

$\tilde k(2)=2^3+2^2-4 \cdot 2-4\\\phantom{k(x)}=8+4-8-4\\\phantom{k(x)}=0$

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $\tilde k(x)$ durch $(x-2)$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \;\;(x^3+x^2-4x-4):(x-2)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-2x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-4x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-6x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^2+3x+2$ berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.

$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm1}{2}$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{-3+1}{2}$
	↓	Fall: +
	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_4$	$=$	$\displaystyle \frac{-3-1}{2}$
	↓	Fall: -
	$=$	$\displaystyle -2$

Du hast also folgende Nullstellen berechnet:

$\Rightarrow x_{1{,}3}=-1\\\Rightarrow x_2= 2\\\Rightarrow x_4=-2$

$-1$ ist eine doppelte Nullstelle und $2$ und $-2$ sind einfache Nullstellen.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$k(x)=\frac12x^4+x^3−\frac32x^2−4x−2=\frac12(x+1)^2\cdot(x-2)\cdot(x+2)$

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$l(z)=4z^3+4z^2−4z−4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4z^4+4z^3-4z^2-4z$
	↓	Klammere $4z$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4z\cdot\left(z^3+z^2-z-1\right)$	$\displaystyle :4$

$\Rightarrow z_1=0$ ist erste Nullstelle

Berechne nun noch die Nullstellen von $z^3+z^2-z-1$ .

$0=z^3+z^2-z-1$

Hier brauchst du die Polynomdivision.

Errate eine Nullstelle. Hier: $z_2=1$ , denn es gilt:

$1^3+1^2-1-1=0$

Führe die Polynomdivision durch:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(z^3+z^2-z-1):(z-1)=z^2+2z+1\\\underline{-(z^3-z^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z^2-z\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(2z^2-2z)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z-1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(z-1)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Forme nun $z^2+2z+1$ durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:

$z^2+2z+1=(z+1)^2$

(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$l(z)=4z^4+4z^3−4z^2−4z=4z\cdot(z-1)\cdot(z+1)^2$

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$m(z)=z^5−2z^4+2z−4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0=z^5-2z^4+2z-4$
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Errate die erste Nullstelle. Hier: $z_1=2$ , denn:
$m(2)=2^5-2 \cdot2^4+2 \cdot 2-4\\\phantom{m(2)}=32-32+4-4=0$
Führe die Polynomdivision durch:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(z^5-2z^4+2z-4):(z-2)=z^4+2\\\underline{-(z^5-2z^4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2z-4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2z-4)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Dir bleibt also noch der Teil $z^4+2$ übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.
$m(z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(x^4+2)$ zerlegen:
$m(z)=z^5-2z^4+2z-4=(z-2)\cdot(z^4+2)$
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$n(u)=u^3-u$

$p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^3+5x^2+5x-6$
	↓	Hier brauchst du die Polynomdivision.

Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.

Hier $x_1=1$ , denn:

$p(1)=1^4-5\cdot1^3+5 \cdot 1^2+5 \cdot 1-6=1-5+5+5-6=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \;\;(x^4-5x^3+5x^2+5x-6):(x-1)=x^3-4x^2+x+6\\\underline{-(x^4-x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;-4x^3+5x^2\\\;\;\;\;\underline{-(-4x^3+4x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2+5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x-6)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^3-4x^2+x+6$ berechnen.

$0=x^3-4x^2+x+6$

Hierfür brauchst du noch einmal die Polynomdivision.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier $x_2=-1$ , denn:

$(-1)^3-4 \cdot (-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \;\;(x^3-4x^2+x+6):(x+1)=x^2-5x+6\\\underline{-(x^3+x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;-5x^2+x\\\;\;\;\underline{-(-5x^2-5x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6x+6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(6x+6)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^2-5x+6$ berechnen.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6$
	↓	Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$

1) Fall: $+$

$x_3=\dfrac{5+1}2=3$

2) Fall: $-$

$x_4=\dfrac{5-1}2=2$

Die Funktion hat also die Nullstellen: $x_1=1$ , $x_2=-1$ , $x_3=3$ und $x_4=2$ .

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x-2)$

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$q(x)=x^3-3x^2+4x-12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0=x^3-3x^2+4x-12$
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.
Hier $x_1=3$ , denn:
$q(3)=3^3-3\cdot 3^2+4 \cdot 3-12=27-27+12-12=0$
Führe nun die Polynomdivision durch:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$x^2+4$ besitzt keine Nullstellen.
$q(x)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $\left(x^2+4\right)$ zerlegen:
$q(x)=(x-3)\cdot(x^2+4)$
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$\displaystyle n\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^3-u$
	↓	Klammere $u$ aus.
	$=$	$\displaystyle u\cdot\left(u^2-1\right)$
	↓	Wende die 3.binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle u\cdot\left(u+1\right)\cdot\left(u-1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+2x-3$
	↓	Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\pm4}{2}$

$\displaystyle g\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 1^3-1^2+4\cdot1-4$
	$=$	$\displaystyle 1-1+4-4$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle z^2+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle z^2$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-3u+2$
	↓	Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}{2}$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 5x^4-25x^2+20$
	↓	Klammere $5$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left(x^4-5x^2+4\right)$
	↓	Teile durch $5$ , damit die Rechung später einfacher wird.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form $a(x^2)^2+bx^2+c$ handelt.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2\cdot1}$
	↓	Vereinfache weiter.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm3}{2}$