Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Zerlege folgende Funktionen soweit möglich in Linearfaktoren.

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0$ $=$ $x^{2} + 2 x - 3$
↓
Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
↓
Vereinfache unter der Wurzel.
$=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
$=$ $\frac{- 2 \pm 4}{2}$
1) Fall: $+$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$
2) Fall: $-$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
$f (x) = x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) \cdot (x + 3)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$g (z) = z^{3} - z^{2} + 4 z - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0 = z^{3} - z^{2} + 4 z - 4$
Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle
$g (1)$ $=$ $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$
$=$ $1 - 1 + 4 - 4$
$=$ $0$
$\Rightarrow z_{1} = 1$ ist eine Nullstelle von $g (z)$
Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.
$\begin{array}{l} (z^{3} - z^{2} + 4 z - 4) : (z - 1) = z^{2} + 4 \\ - (z^{3} - z^{2}) \\ 0 + 4 z - 4 \\ - (4 z - 4) \\ 0 \end{array}$
Versuche nun noch die Nullstellen von $z^{2} + 4$ zu bestimmen.
$z^{2} + 4$ $=$ $0$ $- 4$
$z^{2}$ $=$ $- 4$
$\Rightarrow z^{2} + 4$ hat also keine Nullstellen.
$g (z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung.
Die Funktion ist zerlegbar in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(z^{2} + 4)$ :
$g (z) = z^{3} - z^{2} + 4 z - 4 = (z - 1) \cdot (z^{2} + 4)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$h (u) = u^{2} - 3 u + 2$

$i (x) = 5 x^{4} - 25 x^{2} + 20$

$k (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x - 2$
↓
Klammere $\frac{1}{2}$ aus.
$0$ $=$ $\frac{1}{2} (x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4)$ $\cdot 2$
$0$ $=$ $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4$
Wende die Polynomdivision an:
Errate die erste Nullstelle. Hier: $x_{1} = - 1$ , denn:
$\begin{array}{l} k (- 1) = (- 1)^{4} + 2 \cdot (- 1)^{3} - 3 \cdot (- 1)^{2} - 8 \cdot (- 1) - 4 \\ = 1 - 2 - 3 + 8 - 4 = 0 \end{array}$
Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $k (x)$ durch $(x + 1)$ :
$\begin{array}{l} (x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4) : (x + 1) = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 \\ - (x^{4} + x^{3}) \\ x^{3} - 3 x^{2} \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ - 4 x^{2} - 8 x \\ - (- 4 x^{2} - 4 x) \\ - 4 x - 4 \\ - (- 4 x - 4) \\ 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Wir erhalten eine neue Funktion $\tilde{k} (x) = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$
Um die Nullstellen von $\tilde{k} (x)$ zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:
Errate wieder eine Nullstelle. Hier: $x_{2} = 2$ , denn:
$\begin{array}{l} \tilde{k} (2) = 2^{3} + 2^{2} - 4 \cdot 2 - 4 \\ = 8 + 4 - 8 - 4 \\ = 0 \end{array}$
Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $\tilde{k} (x)$ durch $(x - 2)$ :
$\begin{array}{l} (x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) : (x - 2) = x^{2} + 3 x + 2 \\ - (x^{3} - 2 x^{2}) \\ 3 x^{2} - 4 x \\ - (3 x^{2} - 6 x) \\ 2 x - 4 \\ - (2 x - 4) \\ 0 \end{array}$
Nun musst du noch die Nullstellen von $x^{2} + 3 x + 2$ berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
$=$ $\frac{- 3 \pm 1}{2}$
$x_{3}$ $=$ $\frac{- 3 + 1}{2}$
↓
Fall: +
$=$ $- 1$
$x_{4}$ $=$ $\frac{- 3 - 1}{2}$
↓
Fall: -
$=$ $- 2$
Du hast also folgende Nullstellen berechnet:
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1,3} = - 1 \\ \Rightarrow x_{2} = 2 \\ \Rightarrow x_{4} = - 2 \end{array}$
$- 1$ ist eine doppelte Nullstelle und $2$ und $- 2$ sind einfache Nullstellen.
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
$k (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x - 2 = \frac{1}{2} (x + 1)^{2} \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$l (z) = 4 z^{3} + 4 z^{2} - 4 z - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0$ $=$ $4 z^{4} + 4 z^{3} - 4 z^{2} - 4 z$
↓
Klammere $4 z$ aus.
$0$ $=$ $4 z \cdot (z^{3} + z^{2} - z - 1)$ $: 4$
$\Rightarrow z_{1} = 0$ ist erste Nullstelle
Berechne nun noch die Nullstellen von $z^{3} + z^{2} - z - 1$ .
$0 = z^{3} + z^{2} - z - 1$
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Errate eine Nullstelle. Hier: $z_{2} = 1$ , denn es gilt:
$1^{3} + 1^{2} - 1 - 1 = 0$
Führe die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (z^{3} + z^{2} - z - 1) : (z - 1) = z^{2} + 2 z + 1 \\ - (z^{3} - z^{2}) \\ 2 z^{2} - z \\ - (2 z^{2} - 2 z) \\ z - 1 \\ - (z - 1) \\ 0 \end{array}$
Forme nun $z^{2} + 2 z + 1$ durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:
$z^{2} + 2 z + 1 = (z + 1)^{2}$
(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
$l (z) = 4 z^{4} + 4 z^{3} - 4 z^{2} - 4 z = 4 z \cdot (z - 1) \cdot (z + 1)^{2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$m (z) = z^{5} - 2 z^{4} + 2 z - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0 = z^{5} - 2 z^{4} + 2 z - 4$
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Errate die erste Nullstelle. Hier: $z_{1} = 2$ , denn:
$\begin{array}{l} m (2) = 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 2 \cdot 2 - 4 \\ = 32 - 32 + 4 - 4 = 0 \end{array}$
Führe die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (z^{5} - 2 z^{4} + 2 z - 4) : (z - 2) = z^{4} + 2 \\ - (z^{5} - 2 z^{4}) \\ 2 z - 4 \\ - (2 z - 4) \\ 0 \end{array}$
Dir bleibt also noch der Teil $z^{4} + 2$ übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.
$m (z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(x^{4} + 2)$ zerlegen:
$m (z) = z^{5} - 2 z^{4} + 2 z - 4 = (z - 2) \cdot (z^{4} + 2)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$n (u) = u^{3} - u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.
$n (u)$ $=$ $u^{3} - u$
↓
Klammere $u$ aus.
$=$ $u \cdot (u^{2} - 1)$
↓
Wende die 3.binomische Formel an.
$=$ $u \cdot (u + 1) \cdot (u - 1)$
Die Linearfaktorzerlegung von $n (u)$ ist also:
$n (u) = u \cdot (u + 1) \cdot (u - 1)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$p (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0$ $=$ $x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$
↓
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.
Hier $x_{1} = 1$ , denn:
$p (1) = 1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 6 = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$
Führe nun die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6) : (x - 1) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 \\ - (x^{4} - x^{3}) \\ - 4 x^{3} + 5 x^{2} \\ - (- 4 x^{3} + 4 x^{2}) \\ x^{2} + 5 x \\ - (x^{2} - x) \\ 6 x - 6 \\ - (6 x - 6) \\ 0 \end{array}$
Nun musst du noch die Nullstellen von $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ berechnen.
$0 = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$
Hierfür brauchst du noch einmal die Polynomdivision.
Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.
Hier $x_{2} = - 1$ , denn:
$(- 1)^{3} - 4 \cdot (- 1)^{2} + (- 1) + 6 = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$
Führe nun die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6) : (x + 1) = x^{2} - 5 x + 6 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ - 5 x^{2} + x \\ - (- 5 x^{2} - 5 x) \\ 6 x + 6 \\ - (6 x + 6) \\ 0 \end{array}$
Nun musst du noch die Nullstellen von $x^{2} - 5 x + 6$ berechnen.
$0$ $=$ $x^{2} - 5 x + 6$
↓
Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
↓
Berechne die Wurzel.
$=$ $\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
$=$ $\frac{5 \pm 1}{2}$
1) Fall: $+$
$x_{3} = \frac{5 + 1}{2} = 3$
2) Fall: $-$
$x_{4} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
Die Funktion hat also die Nullstellen: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 1$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = 2$ .
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
$p (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 3) \cdot (x - 2)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren
In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$0 = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.
Hier $x_{1} = 3$ , denn:
$q (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 12 = 27 - 27 + 12 - 12 = 0$
Führe nun die Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12) : (x - 3) = x^{2} + 4 \\ - (x^{3} - 3 x^{2}) \\ 4 x - 12 \\ - (4 x - 12) \\ 0 \end{array}$
$x^{2} + 4$ besitzt keine Nullstellen.
$q (x)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(x^{2} + 4)$ zerlegen:
$q (x) = (x - 3) \cdot (x^{2} + 4)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$x^{2} + 2 x - 3$
	↓	Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\frac{- 2 \pm 4}{2}$

$g (1)$	$=$	$1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$
	$=$	$1 - 1 + 4 - 4$
	$=$	$0$

$0$	$=$	$u^{2} - 3 u + 2$
	↓	Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{3 \pm 1}{2}$

$0$	$=$	$5 x^{4} - 25 x^{2} + 20$
	↓	Klammere $5$ aus.
$0$	$=$	$5 \cdot (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$
	↓	Teile durch $5$ , damit die Rechung später einfacher wird.
$0$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form $a (x^{2})^{2} + b x^{2} + c$ handelt.

$0$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	↓	Vereinfache unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 1}$
	↓	Vereinfache weiter.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$
	$=$	$\frac{5 \pm 3}{2}$

$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x - 2$
	↓	Klammere $\frac{1}{2}$ aus.
$0$	$=$	$\frac{1}{2} (x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4)$	$\cdot 2$
$0$	$=$	$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4$

$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 1}{2}$
$x_{3}$	$=$	$\frac{- 3 + 1}{2}$
	↓	Fall: +
	$=$	$- 1$
$x_{4}$	$=$	$\frac{- 3 - 1}{2}$
	↓	Fall: -
	$=$	$- 2$

$0$	$=$	$4 z^{4} + 4 z^{3} - 4 z^{2} - 4 z$
	↓	Klammere $4 z$ aus.
$0$	$=$	$4 z \cdot (z^{3} + z^{2} - z - 1)$	$: 4$

$n (u)$	$=$	$u^{3} - u$
	↓	Klammere $u$ aus.
	$=$	$u \cdot (u^{2} - 1)$
	↓	Wende die 3.binomische Formel an.
	$=$	$u \cdot (u + 1) \cdot (u - 1)$

$0$	$=$	$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$
	↓	Hier brauchst du die Polynomdivision.

$0$	$=$	$x^{2} - 5 x + 6$
	↓	Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$
	$=$	$\frac{5 \pm 1}{2}$

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenberechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?