Berechne die Steigung der Funktion f(x)=−2x3−x an der Stelle
x0=−1 mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.
Steigung m der Tangente
| m | = | h→0limhf(x0+h)−f(x0) | |
| ↓ | Zunächst setzt man x0=−1 | ||
| m | = | h→0limhf(−1+h)−f(−1) | |
| ↓ | Setzte f in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen! | ||
| m | = | h→0limh[−2(−1+h)3−(−1+h)]−[−2(−1)3−(−1)] | |
| ↓ | Löse möglichst viele Klammern auf | ||
| m | = | h→0limh[−2(−1+h)3+1−h)]−[2+1] | |
| ↓ | Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne (−1+h)3=(−1+h)2⋅(−1+h)=(12−2h+h2)⋅(−1+h)=−1+2h−h2+h−2h2+h3=−1+3h−3h2+h3 | ||
| m | = | h→0limh−2[−1+3h−3h2+h3]+1−h−3 | |
| ↓ | Vereinfache | ||
| m | = | h→0limh[2−6h+6h2−2h3]−h−2 | |
| m | = | h→0limh−7h+6h2−2h3 | |
| ↓ | |||
| m | = | h→0limhh(−7+6h−2h2) | |
| ↓ | Kürze h. | ||
| m | = | h→0lim(−7+6h−2h2) | |
| ↓ | Jetzt kann man das Limit ziehen. | ||
| m | = | −7 | |
Die Steigung m=−7 entspricht der berechneten Steigung an der Stelle x=−1 von f.
Bestimmung der Tangentengleichung
Man bestimmt t(x) indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berührte Punkt A(x∣f(x))=A(−1∣3) auf der Tangente liegen muss.
| f(x) | = | m⋅x+b | |
| ↓ | Setzt man den Berührungspunkt ein | ||
| f(−1) | = | m⋅(−1)+b | |
| 3 | = | b−m | |
| ↓ | Setzt man m=−7 | ||
| 3 | = | b−(−7) | −7 |
| −4 | = | b | |
Die Gleichung der Tangente ist somit t(x)=−7⋅x−4
Wir wenden die Formel für die h-Methode an und erhalten so die Steigung m der Tangente.
Mit der Steigung der Tangente m und dem Punkt A(−1∣f(−1)) der sowohl auf der Funktion aus auch der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.
